弹性力学简明教程_第三版_徐芝纶_第一章

弹性力学简明教程
第一章 绪论
§1-1 弹性力学的研究内容
弹性力学:也称弹性理论，固体力学学科的一个分支。 弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。
弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在 弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下(受外 力、边界约束或温度改变等原因 )弹性物体的内力 (应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关 的原理、理论和方法
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
可以证明，在物体的任意一点，如果已知
x , y , z , yz , zx , xy 这六个应力分量，就可以求
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
说明：(1) f是坐标的连续分布函数； (2) f的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、 惯性力等) (3) fx、fy、fz 的正负号由坐标方向确定。 2、面力
所谓面力是指分布在物体表面上的力，一般用单位
表面积上的力表示，如风力、液压和接触力等。
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
§1-1 弹性力学的研究内容
弹性力学在力学学科和工程学科中，具有重要的地位： 弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全
性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力
方法进行分析。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、岩石力学、有 限元方法等课程的基础。
§1-1 弹性力学的研究内容
土木工程
柯西（A.L.Cauchy）
§1-1 弹性力学的研究内容
而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究 领域，使弹aint-Venant）建立 了柱体扭转和弯曲的基本 理论
圣维南 （A.J.Saint-Venant）
§1-1 弹性力学的研究内容
§1-1 弹性力学的研究内容
任务
① 分析结构、构件在外部干扰下的应力和位移 ② 检验结构、构件的强度、刚度 ③ 通过这门课程的学习来研究其技术方法，寻求、改 进计算方法
§1-1 弹性力学的研究内容
研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性 力学。它们的研究对象分别如下： 材料力学——研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯 曲、剪切、扭转和组合变形等问题。
lim S
S 0
f
(矢量)
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
说明：(1) f是坐标的连续分布函数； (2) f的加载方式是任意的 (3) fx、fy、fz 的正负号由坐标方向确定。 二、应力与应力分量 1、一点应力的概念 (1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(不考虑) (2) 由于外力作用引起的相互作用力。
§1-1 弹性力学的研究内容
变截面杆拉伸时，沿用等截面直杆拉伸的结果，认 为横截面应力也是均匀分布的。
§1-1 弹性力学的研究内容
按照这个假设，我们从杆的侧面取出一个微元体，如
图c，显然，不满足平衡条件，因而是不正确的。要
满足平衡条件，微元体的受力图应如图d所示，这只
有通过弹性力学方法才能求解。弹性力学的求解结果
n
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
由于mn截面是任取的，实际上过P点可取无数个方位不
同的截面，各截面上P点的应力是不同的，为此将物体
同一点各截面上的应力状况称为一点的应力状态。分析 一点的应力状态，对研究物体的强度是十分重要的。 2、一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合称为一点的应力 状态 x面的应力： x , xy , xz
结构力学——在材料力学基础上研究杆系结构 （如桁架、刚架等）。
弹性力学——研究各种形状的弹性体，如杆件、平面 体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 （如地基、剪力墙、挡土墙、坝体、隧洞）
§1-1 弹性力学的研究内容
研究对象
材料力学 结构力学 弹性力学
杆状构件
杆件系统
长度远大于高度和宽度 由杆状构件组成的结构
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
y面的应力： y , yx , yz z面的应力： z , zx , zy !下标前一个字母 表明作用面垂直于
哪个坐标轴，后一
个字母表面作用方 向沿着哪一个坐标
z
z
zx
yx
zy
轴。
O
xz xy y y yx yz x zy zx y z
§1-1 弹性力学的研究内容
图b中还绘出了弹性力学求解的结果： 横截面上的正应力 x 为y的三次曲线，纵向 纤维挤压应力 y 也为y的三次曲线分布，而剪应 力解，则二者完全相同。严格的讲，在横力弯曲 中，由于剪应力的存在横截面要发生翘曲，平面 假设已不成立，而横向力的存在本身就意味着纵 向纤维的挤压并不为零。
1862年，艾里（G.B.Airy） 发表了关于弹性力学的平 面理论 1881年，赫兹建立了接触 应力理论；
赫兹（H.Hertz）
§1-1 弹性力学的研究内容
1898年，基尔霍夫建立了 平板理论; 1824年生於德国，1887年 逝世。曾在海登堡大学和 柏林大学任物理学教授， 他发现了电学中的“基尔 霍夫定理”，同时也对弹 性力学，特别是薄板理论 的研究作出重要贡献。
§1-1 弹性力学的研究内容
对比弹性力学和材料力学的结果，可以确定出材料 力学附加假设所带来的局限性。 首先我们考察一下变截面杆的拉伸问题。在研究等 截面直杆拉伸时，材料力学引用了平截面假设。
垂直于杆件轴线的各平截面（即杆的横截面）在 杆件受拉伸、压缩或纯弯曲而变形后仍然为平面， 并且同变形后的杆件轴线垂直。
yz
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截面的正负号： !!截面的外法线方向与坐标轴方向一致时为正面； !!截面的外法线方向与坐标轴方向相反时为负面。 应力的正负号： !!正面上正方向的力为正；负面上负方向的力为正。 与材料力学中剪应力τ正负号规定的区别： 规定使得单元体顺时转动的剪应力τ为正，反之为负。 6个剪应力并不是互不相关的。由材料力学的剪应力 互等定律，可以看出它们是两两相等的，即 xy yx , yz zy , zx xz
表明，只有当斜角 很小时，即接近于直杆时，材料 力学的结果才有被引用的价值。
§1-1 弹性力学的研究内容
其次，考虑均布荷载作用下的简支梁
x
y
xy
§1-1 弹性力学的研究内容
对于纯弯曲问题，材料力学引用平面假设，对横力 弯曲问题分两步求解，首先按纯弯曲梁的求解方法， 计算横截面上的正应力 ，结果为线性分布，再 x 在纵向纤维挤压应力 y 的假设前提下，根 0 据体元的平衡条件，推出剪应力 为二次抛物线 xy 分布。
P
ΔF
n
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
在截面上任一点P处取一微小面积△A，其上内力为
△F，则内力平均集度为△F/△A，当△A无限趋近于P 点时，物体在该截面上P点应力矢量即△F/ △A的极限
值：
F p lim A 0 A
m

n
ΔF
P ΔA

n
(法线)
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
或约束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述 方程，得出较精确的解答。
材力研究方法：也考虑这几方面的条件，但不是十分严
格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简 化问题，并在许多方面进行了近似的处理。
因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。 从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。
内力
物体任何部位的内力特征用应力来描述，为了说明应
力的概念，现考察受平衡力系的任意形状的物体。
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
物体受外力作用时，其内部相邻两部分之间就产生了
相互作用力即内力，假想过P点用截面mn将物体分为
两部分，撇开一部分，该部分对剩下的部分的作用可
用分布在截面上的内力来代替。 m
非杆状结构 及杆状构件
拉压、剪切、弯曲 、扭转作用下产生 的应力和位移
荷载作用下杆件的内 力（弯矩、剪力）或 变形
应力、形变和 位移
§1-1 弹性力学的研究内容
在研究方法上，弹力和材力也有区别： 弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和 物理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力
§1-1 弹性力学的研究内容
与弹性力学精确解相比较，当梁的高跨比 h / l 1/ 5 时，材料力学的结果可以认为是足够精确的。对于深 梁问题，此时只能用弹性力学方法求解。图中表示出 了对称面上的正应力分布曲线，A点处，弹性力学的解 为 1.84q ,如果用材料力学方法求解则为 0.75q 误差为145%。
由上分析可知： ①应力大小反映了截面上某点内力的强度即内力分布集
度。 ②过同一点所取的截面方位不同，应力也不相同，即应 力与所取截面的方位有关。 ③应力是矢量。为了便于描述物体变形和材料强度，一 般由正应力 （沿截面法向）和剪应力（沿截面切向） 两个分量来表示。 m

ΔF
P ΔA

n
(法线)
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
为了表明该物体在某一点P所受体力的大小和方
向，在这一点取物体的一小部分，它包含着P点而它的
z 体积为 V F fz 设 V上所受的力为 F ，令 V 无限减 P 小，则 F 将趋于一定的极限 ， f f / V f x V y k F 即 lim f （矢量） V 0 V y i O j 则极限矢量 f 即为P点体力的集度， x 其方向即 F的极限方向，用 f x 、f y 、 f z 表示体力分量 N/m3 ，量纲： 是 f 在x、y、z轴上的投影 ，单位： L-2 MT -2
基尔霍夫 (G.R.Kirchoff)
§1-1 弹性力学的研究内容
许多科学家.像拉格朗日(grange)，乐甫 (A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡 献。 中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝纶，胡海昌 ,等在 弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了 重要贡献。
§1-1 弹性力学的研究内容
水利工程
§1-1 弹性力学的研究内容
航空航天工程
§1-1 弹性力学的研究内容
船舶机械工程
§1-1 弹性力学的研究内容
工科学生学习弹力的目的： （1）理解和掌握弹力的基本理论； （2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法(变分法、差分法和有限单元法) 解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。
§1-1 弹性力学的研究内容
弹性力学的发展
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追 溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的 受力与变形之间的关系。
§1-1 弹性力学的研究内容
近代弹性力学的研究是从 19世纪开始的。 柯西1828年提出应力、应 变概念，建立了平衡微分 方程，几何方程和广义胡 克定律。 柯西的工作是近代弹性力 学的一个起点，使得弹性 力学成为一门独立的固体 力学分支学科。
为了表明该物体在表面上某一点P所受面力的大小和方
向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含着P点而
z
设 S 上所受的力为 F ，令 S无限 减小，则 F / S 将趋于一定的极 限 f ，即 F
它的面积为S
fz
F
P
k i
O j
fx
S
fy
y
x 则极限矢量 f 即为P点面力的集度，其方向即 F 的极 限方向，用 f x 、 f y 、f z 表示面力分量，是 f 在x、y、z -1 -2 轴上的投影，单位是 N/m2，量纲： L MT
§1-1 弹性力学的研究内容
钱学森
钱伟长
胡海昌
§1-1 弹性力学的研究内容
杨桂通
徐芝纶
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念：外力、应力、形变、位移。 一、作用与物体上的外力 体积力（体力）：作用于物体体内 表面力（面力）：作用于物体表面 1、体力 所谓体力是指分布在物体体积内的力，一般用单 位体积的力表示，如重力、磁力、惯性力。