电磁场第一章-矢量分析
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l P
(P) (P)
lim
l P Δl0
Δl
梯度是一个矢量。 某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
梯度的性质： • 标量场的梯度是矢量场，它在空间某
el P
P
ex 2x ey 2 y ez (2x)2 (2 y)2 (1)2
ex
2 3
ey
2 3
ez
1 3
(1,1,1)
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导
数为
l
el
(ex 2x ey 2 y ez ) (ex
1 2
ey
21
2
ez
) 2
x 2y 1 2
R R3
1 1
R
R
P表示源点，P 表示场点。
例 设一标量函数 (x,y,z) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。 试求：
(1) 该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的 单位矢量。
(2) 求该函数 沿单位矢量 el ex cos 60o ey cos 45o ez cos 60o
若 A B ，则 A B AB
若 A / / B ，则 A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B的叉积
6
（5）矢量的混合运算
( A B ) C A C B C —— 分配律
( A B ) C A C B C —— 分配律
A (B C ) B (C A) C ( A B ) —— 标量三重积
对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为
l
x
2
y
1 2
1
2 2
2
P
(1,1,1)
15
而该点的梯度值为
(2x)2 (2 y)2 (1)2 3
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A eA A eA A
A
矢量的大小或模： A A
矢量的单位矢量： eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
2
矢量用坐标分量表示 A ex Ax ey Ay ez Az
z
Az
方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。
解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
P
[(ex
x
ey
y
ez
z
)( x 2
y2
z)]P
(ex 2 x ey 2 y ez ) (1,1,1) ex 2 ey 2 ez
14
表征其方向的单位矢量
5
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx ) 写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
A
Ay
Ax O
y
x
Ax A cos Ay A cos Az A cos
A A(ex cos ey cos ez cos )
eA ex cos ey cos ez cos
3
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻
边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A B
B
A
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律
B
交换A律 (B C) ( A B) C
B
A
AB
结合律 A (B C) (A B) C
矢量的减法
4
（2）标量乘矢量
kA exkAx eykAy ezkAz
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
x
R (x x)2 ( y y)2 (z z)2
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
1 R
R R3
1 R
（3）矢量的标积（点积）
B
A
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz
A B B A ——矢量的标积符合交换律 矢量A 与B 的夹角
A B AB 0 A/ /B
ex ey ey ez ez ex 0 ex ex ey ey ez ez 1
A B AB
A (B C ) ( A C )B ( A B)C
—— 矢量三重积
7
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
1. 标量场的方向导数与梯度
l
标量场在某点的方向导
ΔlΒιβλιοθήκη BaiduP
P
数表示标量场自该点沿某 一方向上的变化率。
标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。
• 标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。
• 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
梯度运算的基本公式：
11
C 0
((uCu)v)
Cu u
v
(uv) uv vu
f (u) f (u)u
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 5. 格林定理
2. 矢量场的通量与散度
6. 矢量场的惟一性定理
3. 矢量场的环量与旋度
7. 亥姆霍兹定理
4. 无散场和无旋场
8. 正交曲面坐标系
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
(P) (P)
lim
l P Δl0
Δl
梯度是一个矢量。 某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
梯度的性质： • 标量场的梯度是矢量场，它在空间某
el P
P
ex 2x ey 2 y ez (2x)2 (2 y)2 (1)2
ex
2 3
ey
2 3
ez
1 3
(1,1,1)
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导
数为
l
el
(ex 2x ey 2 y ez ) (ex
1 2
ey
21
2
ez
) 2
x 2y 1 2
R R3
1 1
R
R
P表示源点，P 表示场点。
例 设一标量函数 (x,y,z) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。 试求：
(1) 该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的 单位矢量。
(2) 求该函数 沿单位矢量 el ex cos 60o ey cos 45o ez cos 60o
若 A B ，则 A B AB
若 A / / B ，则 A B 0
A B
B
AB sin
A
矢量A 与B的叉积
6
（5）矢量的混合运算
( A B ) C A C B C —— 分配律
( A B ) C A C B C —— 分配律
A (B C ) B (C A) C ( A B ) —— 标量三重积
对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为
l
x
2
y
1 2
1
2 2
2
P
(1,1,1)
15
而该点的梯度值为
(2x)2 (2 y)2 (1)2 3
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A eA A eA A
A
矢量的大小或模： A A
矢量的单位矢量： eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
2
矢量用坐标分量表示 A ex Ax ey Ay ez Az
z
Az
方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。
解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
P
[(ex
x
ey
y
ez
z
)( x 2
y2
z)]P
(ex 2 x ey 2 y ez ) (1,1,1) ex 2 ey 2 ez
14
表征其方向的单位矢量
5
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx ) 写成行列式形式为
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
A
Ay
Ax O
y
x
Ax A cos Ay A cos Az A cos
A A(ex cos ey cos ez cos )
eA ex cos ey cos ez cos
3
2. 矢量的代数运算
（1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻
边的平行四边形的对角线,如图所示。 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
A B
B
A
矢量的加法
A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
矢量的加减符合交换律和结合律
B
交换A律 (B C) ( A B) C
B
A
AB
结合律 A (B C) (A B) C
矢量的减法
4
（2）标量乘矢量
kA exkAx eykAy ezkAz
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
x
R (x x)2 ( y y)2 (z z)2
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
1 R
R R3
1 R
（3）矢量的标积（点积）
B
A
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz
A B B A ——矢量的标积符合交换律 矢量A 与B 的夹角
A B AB 0 A/ /B
ex ey ey ez ez ex 0 ex ex ey ey ez ez 1
A B AB
A (B C ) ( A C )B ( A B)C
—— 矢量三重积
7
标量场（）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场
以箭头表示的矢量场A
1. 标量场的方向导数与梯度
l
标量场在某点的方向导
ΔlΒιβλιοθήκη BaiduP
P
数表示标量场自该点沿某 一方向上的变化率。
标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。
• 标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。
• 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
梯度运算的基本公式：
11
C 0
((uCu)v)
Cu u
v
(uv) uv vu
f (u) f (u)u
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 5. 格林定理
2. 矢量场的通量与散度
6. 矢量场的惟一性定理
3. 矢量场的环量与旋度
7. 亥姆霍兹定理
4. 无散场和无旋场
8. 正交曲面坐标系
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'