结构地震反应分析

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结构地震反应分析
摘要:结构地震反应分析方法有很多,单自由度体系可以采用duhamel积分法,多自由体系可以采用振型分解法,和直接积分法。

在工程实践中,根据建筑物的结构体系,抗震设防烈度,选择合适的方法,计算结构的动力特性和响应。

本文对一个7层框架结构进行抗震计算,采用不同的计算方法计算结构动力特性和响应。

关键词:duhamel积分法多自由度体系振型分解法直接积分法
Structural seismic response analysis
FeiJianWei
Civil and traffic institute structural engineering 200820104470 Abstract: There are many methods for Structural seismic response analysis, single-degree-of-freedom system using duhamel integral method, more free system can use strikeout decomposition method, and the direct integral method. In engineering practice, according to the building of the structure types, the seismic fortification intensity, select the appropriate method to calculate the dynamic characteristics, and response. Article choose a 7 layers framework for earthquake-resistant calculation, using different calculation method to calculate the dynamic characteristics and response.
Keywords: duhamel integral method ;multi-freedom system ;vibration mode decomposition method ;direct integral method
1 前言
建筑结构抗震设计首先要计算结构的地震作用,然后再求出结构和构件的地震作用效应。

结构的地震作用效应就是指地震作用在结构中所产生的内力和变形,主要有弯矩、剪力、袖向力和位移等,最后将地震作用效应与其他荷载效应进行组合,并验算结构和构件的抗震承载力及变形,以满足“小震不坏,中震可修,大震不倒”的抗震设计要求。

结构的地震反应是指地震引起的结构振动,它包括地震在结构中引起的速度、加速度、位移和内力等。

结构的地震反应分析属于结构动力学的范畴,比结构的静力分析要复杂得多。

因为结构的地震反应不仅与地震作用的大小及其随时间的变化特性有关,而且还取决于结构本身的动力特性,即结构的自振周期和阻尼等。

然而,地震时地面的运动是一种很难确定的随机过程,运动极不规则,而建筑结构又是一个由各种不同构件组成的空间体系,其动力特性也十分复杂。

因此,地震引起的结构振动实际上是一种很复杂的空间振动。

这样,在进行建筑结构的地震反应分析时,为了便于计算,常需做出一系列简化的假定[1]。

1.1 结构抗震理论的发展
近百年来,经过各国学者的共同努力,结构抗震理论的研究取得了长足的发展。

结构抗震理论的发展可以划分为静力理论、反应谱理论和动力理论三个发展阶段。

1.1.1 静力理论
水平静力抗震理论创始于意大利,发展于日本,1900年日本学者大森房吉提出震度法的概念。

该理论认为:结构物所受到的地震作用,可以简化为作用于结构的等效水平静力F,其大小等于结构重力荷载G乘以地震系数k,即:
F =α
G / g = kG(1.1)
式中:α为地震动最大水平加速度;
g 为重力加速度;
k 为地震系数,k =α/ g ,其数值与结构动力特性无关,是根据多次地震震害分析得出的,k ≈1/10。

此理论创立时,一般认为结构是刚性的,因此结构上任何一点的振动加速度均等于地震动加速度,结构上各部位单位质量所受到的地震力是相等的。

静力法未考虑上部结构变形对地震作用的影响,也未考虑地震作用随时间的变化及其与结构动力特性的关系,这使得静力法的结果具有很大的近似性。

1.1.2 反应谱理论
反应谱理论是建立在强震观测基础上的,20世纪40年代,美国学者M.A.Biot首先提出从实测记录中计算反应谱的概念,到50年代初由美国学者Housner加以实现,即将多个实测的地面振动波分别代入单自由度动力反应方程,计算出各自最大弹性地震反应(加速度、速度、位移),从而得出结构最大地震反应与该结构自振周期的关系曲线。

由反应谱可以计算出最大地震作用,然后按静力分析法计算地震反应,所以仍属于等效静力法。

但由于反应谱理论较真实地考虑了结构振动特点,计算简单实用,因此目前仍是各国抗震规范中给出的一种主要抗震分析方法。

反应谱是指单质点体系在给定地震加速度作用下的最大反应随自振周期变化的曲线,它同时是阻尼的函数。

不同的地震记录、不同的场地特性及震中距的远近对曲线都有影响。

取同场地条件下的地震加速度记录,并取阻尼比ζ=0.05,得到相应于该阻尼比的加速度反应谱,除以每一条加速度记录的最大加速度,进行统计分析取综合平均并结合经验判断给予平滑化得到“标准反应谱”,将标准反应谱乘以地震系数(相当于7、8、9度烈度峰值加速度与重力加速度的比值),即为规范采用的地震影响系数α曲线,或称为抗震设计反应谱。

建筑抗震设计规范(GB50011-2001)所规定的地震影响系数α曲线如图1.1所示[2]。

图1.1 地震影响系数曲线
图中:(1) 直线上升段,周期小于0.1s 的区段;
(2) 水平段,自0.1s 至特征周期区段,应取最大值(αmax );
(3) 曲线下降段,自特征周期至5 倍特征周期区段,衰减指数应取0.9;
(4) 直线下降段,自5 倍特征周期至6s 区段,下降斜率调整系数应取0.02;
(5) α为地震影响系数;
(6) αmax 为地震影响系数最大值;
(7) Tg 为特征周期;
(8) T 为结构自振周期;
(9) η1为直线下降段的下降斜率调整系数;
(10) η2 为阻尼调整系数;
(11) γ为衰减指数。

底部剪力法是一种简化方法,是反应谱分析法中的一种近似方法,便于设计者手算,它是应工程设计的需要而提出来的。

规范[7]规定,对于以下两类建筑结构可采用底部剪力法进行抗震计算:(1)高度不超过40m,以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构;(2)近似于单质点体系的结构。

振型分解反应谱法是利用单自由度体系反应谱和振型分解原理,解决多自由度体系地震反应的计算方法。

由于它考虑了结构的动力特性,除了很不规则和不均匀的结构外,都能给出比较满意的结果;而且它能够解决其他方法难以解决的非刚性楼盖空间结构的计算,因而成为当前确定结构地震反应的主导方法。

1.1.3 动力理论
动力理论是直接通过动力方程求解地震反应,起源于20世纪60年代计算机技术的普及应用。

由于地震波为复杂的随机振动,对于多自由度体系振动不可能直接得出解析解,只可采用逐步积分法,而这种方法计算工作量大,只有在计算机应用发展的前提下才能实现。

通过直接动力分析可得到结构响应随时间的变化关系,因而该方法又称为时程分析法。

时程分析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程,并可以得到强震下结构的弹塑性变形,因此己成为抗震分析的一种重要方法。

多自由度体系地震反应方程为:
[M ]{
∙∙
x(t)}+[C]{

x(t)}+[K]{x(t)} = -[M ]{
∙∙
g
x(t)} (1.2)
其中[M]、[C]、[K]分别为结构体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,[
∙∙
x(t)]、[

x(t)]、
[x(t)]分别表示结构体系的加速度向量、速度向量和位移向量,[
∙∙
g
x(t)]为地震作用下的地面
加速度。

在地震反应方程(1.2)中,地面振动加速度是复杂的随机函数。

同时,在弹塑性反应中刚度矩阵与阻尼矩阵亦随时间变化,因此不可能求出解析解,只能采取数值分析方法求解。

把整个地震反应的过程分为短而相等的时间增量Δt ,并假定在每一个时间区间上体系的各物理参数均为常数,它们均按区间起点的值来确定,这样就可以把非线性体系的分析近似按照一系列连续变化的线性体系来分析。

方程(1.2)适用于结构的任何时刻,则对于结构t +Δt 时刻的地震反应方程可以表示为:
[M ]{
∙∙
x(t +Δt)}+[C]{

x(t +Δt)}+[K]{x(t +Δt)}= -[M ]{
∙∙
g
x(t +Δt)}(1.3)
令:

∙∙
x} ={
∙∙
x(t +Δt)}-{
∙∙
x(t)} (1.4)
{Δ∙
x} ={

x(t +Δt)}-{

x(t)} (1.5)
{Δx} ={x(t +Δt)}-{x(t)} (1.6)

∙∙
g
x}={
∙∙
g
x(t +Δt)}-{
∙∙
g
x(t)} (1.7)
则将式(1.3)与式(1.2)相减得到结构的增量平衡方程:
[M ]{Δ
∙∙
x}+[C]{Δ

x}+[K]{Δx}= -[M ]{Δ
∙∙
g
x} (1.8)
2 单自由度体系的地震反应分析
2.1 计算简图
当体系只做单向振动时,就形成了一个单自由度体系。

如水塔图2.1,因其质量也大部分集中于塔顶水箱,故可按单自由度体系来分析其振动。

图2.1 水塔及简化体系
2.2 结构响应求解
由于地震是随机运动,对结构来说是受随时间任意变化的荷载。

为此本文介绍两种方法求解结构地震响应:(1)时域分析法——duhamel 积分法,(2)频域分析方法——fourier 变换法[3]。

2.2.1 时域分析方法——duhamel 积分
对无阻尼体系,单位脉冲反应函数为
H (t-τ)=u (t )=)](sin[1τωω-t m n n
t ≥τ (2.1) 阻尼体系的单位脉冲反应函数为
H (t-τ)=u (t )=)](sin[1)(τωωτζω---t e m d t d
n t ≥τ (2.2) 在任意时间t 结构的反应,就是在t 以前所有脉冲作用下反应之和
U (t )=⎰t du 0
=τττd t h p t
)()(0-⎰
(2.3) 将式(2.1)和式(2.2)分别代入式(2.3)得到求解无阻尼和有阻尼体系动力反应的duhamel 积分公式 U (t )=ττωτωd t p m n t n )](sin[)(1
0-⎰
U (t )=ττωτωτζωd t e p m d t t d n )](sin[)(1
)(0
---⎰ 对于地震作用,地震加速度是个很复杂的函数,可以通过数值积分得到问题的解答。

2.2.2 频域分析方法——fourier 变换法
频域分析方法基于fourier 变换。

对任意非周期,有限长的荷载,可以采用fourier 变换法,在频域求得体系的动力反应。

Fourier 变化的定义
U (ω)=⎰+∞
∞--dt e
t u t i ω)( 正变换
U (t )=π21⎰+∞∞-ωωωd e u t i )( 逆变换
式中,u (ω)称为位移u (t )的fourier 谱
速度和加速度的fourier 变换为

+∞∞--∙
dt e t u t i ω)(=i ωu (ω) ⎰
+∞∞--∙∙
dt e t u t i ω)(=-2ωu (ω) 对于单自由度体系运动方程
)(1)()(2)(2t p m
t u t u t u n n =++∙∙∙ωζω 两边同时进行fourier 正变换得 )(1)()(2)(2
2ωωωωωζωωωp m u u i u n n =
++- 根据fourier 逆变换得到体系的位移解,即 U (t )=ωωωζωωωπωd me i p t i n n /)2/()(2122++-⎰+∞

- 对地震动,是复杂的时间函数,解析型的fourier 变换几乎是不可能的,实际计算中大量采用的是离散fourier 变换。

离散fourier 变换将随时间连续变化的函数用等步长t ∆离散成有N 个离散数据点的系列,即
P (k t ),k=0,1,2,…,N-1 k t =k t ∆
t ∆=p T /N
其中t ∆为离散时间步长,p T 为外荷载的持续时间。

对于频域的fourier 谱也进行离散化,即
P (j ω),j=0,1,2,…,N-1
j ω=j ω∆
ω∆=π2/p T
将离散化的值代入fourier 正变化公式,并应用梯形数值积分公式得
P (j ω)=
⎰+∞
∞--dt e t p t i ω)(=∑∑-=-=--∆=∆10102)(*)(N k N k N k i k t i k j k j e t p t t e t p πω
由逆变换得体系的位移解
U (k t )=ωωωζωωωπ
ω∆++-∑-=k j t i n j n j j N j me i p /)2/()(212210 3 多自由度体系地震反应分析
3.1 基于频率方程求解结构特征值
无阻尼多自由度体系的自由振动方程
[M]{ ∙∙U }+[K]{U}={0} (3.1)
假定多自由度体系的自由振动是简谐振动,可写成
U (t )=φsin (ωt+θ) (3.2)
把(3.2)代入(3.1)得到方程为
([K]- 2ω [M]){φ}={0} (3.3)
式(3.3)有非零解的条件是|[K]- 2ω [M]|=0,这就是结构动力学问题的广义特征值求解问题,该方程称为结构的频率方程。

3.2 逆迭代法[3]
逆迭代法在计算特征值和特征向量时非常有效,它也是很多算法的基础,因此有必要先进行介绍。

先假定刚度矩阵K 是对称的,而质量矩阵可以有为零的对角元。

设有初始向量-
1x ,及其第s=1,2,…步时的迭代公式为1φ正交,也就是说
K -+1s x =M s x 1+s x =)2/1()^(111
-++--+s T s s x M x x
只要初始向量-1x 不关于矩阵M 与第一个特征向量--11φφM T ≠0,则有当k →∞时,则有-+1s x →1φ。

算法如下:(1)选取初始向量1x ,计算1y =M 1x
(2)解方程 K -+1s x =1y ,得到-+1s x
(3)计算 -+1s y =M -+1s x。

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