欧拉方程

欧拉方程 (刚体运动)
莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。

对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。

所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。

换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

静态的定义
三个欧拉角：() 。

蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。

绿色的线是交点线(N) 。

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。

参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。

而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参阅右图。

设定 xyz-轴为参考系的参考轴。

称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。

zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:
•α是x-轴与交点线的夹角，
•β是z-轴与Z-轴的夹角，
•γ是交点线与X-轴的夹角。

很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。

科学家对此从未达成共识。

每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。

欧拉角方法只是其中的一种。

此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。

因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

[编辑]角值范围
•值从0 至2π弧度。

•β值从0 至π弧度。

对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：
•两组欧拉角的α，一个是0 ，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

•两组欧拉角的γ，一个是0 ，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

[编辑]旋转矩阵
前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：
单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，
•最里面的(最右的) 矩阵代表绕着z 轴的旋转。

•最外面的(最左的) 矩阵代表绕着Z 轴的旋转。

•在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。

经过一番运算,
的逆矩阵是：
[编辑]别种顺序
在经典力学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。

另外，还有别种欧拉角组。

合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。

因此，一共有 12 种顺规。

例如，y 顺规，第二个转动轴是 y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。

另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan angles。

欧拉运动定律（Euler's laws of motion）是牛顿运动定律的延伸，可以应用于多粒子系统运动或刚体运动，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。

在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪，于1750年，莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。

[1][2]
刚体也是一种多粒子系统，但理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。

不论是否感受到作用力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。

欧拉运动定律也可以加以延伸，应用于可变形体（deformable body）内任意部分的平移运动与旋转运动。

角动量守恒定律
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在一个旋转系统中，力(F)与力矩(τ)；动量(p)与角动量(L)的关系。

角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。

当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。

角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量的守恒实质上对应着空间旋转不变性。

例如，当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以他们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳公转单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因。

另外，角动量守恒定律也是陀螺效应的原因。

需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。

在古典力学中，转动惯量又称惯性矩，通常以I表示，国际单位制基本单位为[kg]·[m2]。

转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的改变的对抗，是一个物体对于其旋转运动的惯性。

转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，描述角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

对于一个质点，I = mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

对于一个有多个质点的系统，。

若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。

如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯量为I A。

在空间取点B，使得AB垂直于原本的轴。

那么如果以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB 的距离为d，则I B = I A + md2。

力矩
在直线运动，F = ma。

在旋转运动，则有τ = Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。

[编辑]动能
一般物件的动能是。

将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：
得出
，
简化得。

如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。

[编辑]惯性张量
对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角坐标系 Qxyz ，一个刚体的惯性张量是。

(1)
这里，矩阵的对角元素、、分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。

设定为微小质量对于点 Q 的相对位置。

则这些转动惯量以方程式定义为
，
，(2)。

矩阵的非对角元素，称为惯量积, 以方程式定义为
，
，(3)。

[编辑]导引
图A
如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz 的角动量定义为。

这里，代表微小质量在 Gxyz 座标系的位置，代表微小质量的速度。

因为速度是角速度叉积位置，所以，。

计算 x-轴分量，
相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为
，
，。

如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量，让角速度为
，那么，。

(4)
[编辑]平行轴定理
主条目：平行轴定理
平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。

假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量，而质心 G 的位置是，则刚体对于原点 O 的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为
，
，(5)
，
，
，(6)。

证明：
图B
a) 参考图 B ，让、分别为微小质量对质心 G 与原点 O 的相对位置：
，。

依照方程式 (2)，。

所以，
相似地，可以求得、的方程式。

b) 依照方程式 (3)，。

因为，，所以
相似地，可以求得对于点 O 的其他惯量积方程式。

[编辑]对于任意轴的转动惯量
图C
参视图 C ，设定点 O 为直角座标系的原点，点 Q 为三维空间里任意一点，Q 不等于O 。

思考一个刚体，对于 OQ-轴的转动惯量是。

这里，是微小质量离 OQ-轴的垂直距离，是沿着 OQ-轴的单位向量，
是微小质量的位置。

展开叉积，。

稍微加以编排，
特别注意，从方程式(2)、(3)，这些积分项目，分别是刚体对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量与惯量积。

因此，。

(7)
如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。

那么，对于 OQ-轴的转动惯量，可以用此方程式求得。

[编辑]主转动惯量
因为惯性张量是个实值的三维对称矩阵，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵[1]。

所得到的三个特征值必是正实值；三个特征向量必定互相正交。

换另外一种方法，我们需要解析特征方程式。

(8)
也就是以下行列式等于零的的三次方程式：。

这方程式的三个根、、都是正实的特征值。

将特征值代入方程式 (8)，再加上方向余弦方程式，
，
我们可以求到特征向量、、。

这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量。

假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为、、，角速度是。

那么，角动量为。

[编辑]动能
刚体的动能可以定义为
，
这里，是刚体质心的速度，是微小质量相对于质心的速度。

在方程式里，等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能，第二个项目是刚体旋转运动的动能。

由于这旋转运动是绕着质心转动的，。

这里，是微小质量绕着质心的角速度，是对于质心的相对位置。

因此，。

或者，。

所以，。

(9)
假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为、、，角速度是。

那么，刚体的动能为。

(10)
[编辑]参阅
在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动。

我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。

这使得计算得以简化，因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

这些方程是:
其中是角动量在体坐标系中的表达，是物体角动量相对于体坐标系的变化，是在体坐标系中的角速度，而是外力矩。

目录
[隐藏]
• 1 证明
• 2 分量形式
• 3 应用
• 4 参阅
[编辑]证明
[编辑]分量形式
采用主轴坐标，I对角化，则分量形式为。

从而，欧拉方程变为如下分量形式
[编辑]应用
方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩进动。

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合，不再连接到物体本身。

是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。

但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。

这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。

在一个旋转系统里，力(F)、力矩(τ)、动量(p)、角动量(L)，这些物理量之间的关系：力矩为到原点的位移(r)和力的叉乘；
角动量为到原点的位移和动量的叉乘。

角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。

角动量是矢量。

其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。

表示动量。

而又可写为：
其中I表示杆状系统的转动惯量。

在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。

需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。

在一个旋转系统里，力(F)、力矩(τ)、动量(p)、角动量(L)，这些物理量之间的关系：力矩为到原点的位移(r)和力的叉乘；
角动量为到原点的位移和动量的叉乘。

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。

叉积可以被定义为：
'在这里θ表示a和b之间的角度（0°≤θ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。

而n是一个与a、b所在平面均垂直的单位矢量。

这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于a和b：若n满足垂直的条件，那么-n也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k)的左右手定则。

若 (i, j, k)满足右手定则，则 (a, b, a×b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。

由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

几何意义
叉积的长度 |a×b| 可以解释成以a和b为边的平行四边形的面积。

进一步就是说，三重积可以得到以a，b，c为边的平行六面体的体积。

代数性质
•反交换律：
•加法的分配律：
a×(b + c) = a×b + a×c
•与标量乘法兼容：
(r a) ×b = a×(r b) = r(a×b)
•不满足结合律，但满足雅可比恒等式：
a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0
分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

•两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b = 0
[编辑]拉格朗日公式
•这是一个著名的公式，而且非常有用：
a×(b×c) = b（a·c）−c（a·b）,
可以简单地记成“BAC - CAB”。

这个公式在物理上简化向量运算非常有效。

需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

•另一个有用的拉格朗日恒等式是：。

这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

[编辑]矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：
i×j = k j×k = i k×i = j
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]
b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3]
则
a×b = [a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1]
上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：
叉积也可以用四元数来表示。

注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。

一般而言，若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。

更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

在数学中，数量积（也称为标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。

它是欧几里得空间的标准内积。

两个矢量a = [a1, a2,…, a n]和b = [b1, b2,…, b n]的点积定义为:
这里的Σ指示总和符号。

例如，两个三维矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是。

使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:
，
这里的a T指示矩阵a的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行矢量）乘以一个3×1矢量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):。

[编辑]几何解释
A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为
,
这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个矢量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的矢量的点积总是零。

若a和b都是单位矢量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。

那么，给定两个矢量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。

这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于 ()。

在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是
点积可以用来计算合力和功。

若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。

功即是力和位移的点积。

[编辑]性质
•点积满足交换律：
•点积满足分配律:
•点积是个双线性算子：
•在乘以一个标量的时候点积满足:
(后两个性质从前两个得出)。

两个非零矢量a和b是垂直的，当且仅当a·b = 0。

如果b是单位矢量，则点积给出a在方向b上投影的大小，如果方向相反则带有负号。

分解矢量对求矢量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。

不像普通数的乘法服从消去律，如果ab= ac，则b总是等于c除非a零。

而对于点积:
如果a·b = a·c并且a≠0:
则根据分配律可以得出: a· (b - c) = 0；进而:
如果a垂直于 (b - c)，则 (b - c) ≠0因而b≠c；否则b = c。

[编辑]两种定义的等价性的证明
从定义
.
可以得到定理
为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明后者也可以导出前者。

注意：这个证明采用三维矢量，但可以推广到n维的情形。

考虑矢量
.
重复使用勾股定理得到
.
而根据第二个定义
,
所以，矢量v和自身的点积就是其长度的平方。

引理1
现在，考虑两个从原点出发的矢量a和b，夹角θ。

第三个矢量c定义为
,
构造以a，b，c为边的三角形，采用余弦定理，有
.
根据引理1，用点积代替矢量长度的平方，有
.
（1）
同时，根据定义c≡a−b，有
,
根据分配律，得
.
（2）
连接等式（1）和（2）有
. 简化等式即得
,。