灰色预测模型的改进及其应用

灰色预测模型的改进及其应用
灰色预测模型以其计算量少、适应性强而广泛应用于众多领域的研究，文章从某些函数变换能提高建模数据序列的光滑性这一角度出发，基于灰色系统建模理论方法，对于基于一元线性函数变换法的GM（1，1）模型进行了研究，并结合实例进行了验证和分析，结果证明了基于函数变换来改进灰色预测精度这一想法的可行性。

标签：灰色预测；GM（1，1）；光滑性
1 引言
预测是指在一定的理论指导和技术手段条件下，根据已掌握的事物发展的历史和现状为出发点，对其未来某一时间段内可能发生的变化特征量或变化趋势做出合理估计和推断的过程。

简单来说，预测就是：根据过去和现在，估计未来。

预测理论可以帮助人们认识并揭示事物的发展规律，提供关于未来发展的信息，使得人们当前的行为能有所依据，因此预测技术越来越受到社会各界的重视。

预测技术主要包括回归分析法、时间序列法、趋势分析法、人工神经网络法、模糊预测法、灰色预测法、小波分析法和数据挖掘技术等。

而灰色预测模型作为一种典型的趋势分析模型特别适用于那些因素众多、结构复杂、涉及面广、综合性较强的社会系统指标的趋势预测，且它对一般模型具有很强的融合力和渗透力，可将其与其他模型相结合进行分析和预测，从而实现优势互补，增强预测能力，改善预测精度。

2 灰色预测模型
2.1 灰色系统背景知识
所谓灰色系统是指介于白色系统和黑色系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知则为白色系统，全部信息未知则为黑色系统，部分信息已知、部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

我国学者邓聚龙教授于1982年首次提出了灰色系统理论这一概念，30多年来灰色系统理论受到了国内外学术界的极大关注，它以部分信息已知，部分信息未知的贫信息、不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的开发利用，去发现系统的运行规律，从而实现对事物发展规律的认识和预测。

灰色预测理论问世以来的理论和实践证明，与其他预测方法相比，灰色预测模型普遍精度高，误差小，已经成为了许多领域进行系统分析建模、预测控制决策等的独特思路和崭新方法。

2.2 GM（1，1）模型概述
灰色预测理论是整个灰色系统理论的重要组成部分，建立灰色动态模型（GM模型）则是灰色预测理论的核心。

灰色系统在预测领域中应用最为广泛的是GM（1，1）模型，由于其所需样本数据少，计算简便等优点，已广泛应用于社会、经济、生态等各个领域。

2.3 GM（1，1）建模过程
设有原始非负数据序列：，其中n为数据个数。

利用该数据序列建立GM （1，1）模型的一般步骤是：
Step1：累加生成
对原始数据序列X0作一阶累加生成，得到累加生成序列：
，
其中，。

Step2：建模
构造背景值，
其中，？琢一般取0.5。

假设x（1）具有近似指数分布规律，对累加序列建立GM（1，1）模型，得到对应的白化微分方程形式为：
其中，a为发展系数，b为灰色作用量，且a的有效取值区间为a∈（-2，2）。

其对应的微分方程形式为：
Step3：求参数a，b
参数列？准=[a，b]T可由最小二乘法确定：
其中，。

Step4：建立预测公式
在初始条件下，可得到生成的序列模型：
Step5：预测结果
在初始条件下，可得到原始数据序列模型：
即
将k=2，3，…，n代入上式，便可得到初始数据的拟合值；当k>n时，便可得到灰色模型对未来的预测值。

2.4 GM模型精度检验方法
GM模型一般常采用三种方法检验：残差大小的检验、关联度检验、后验差检验。

残差大小的检验是一种直观的按点进行比较的算数检验法，它是把预测数据与实际数据相比较，观测其相对误差是否满足实际要求；关联度检验，属于几何检验，它是通过考察模型拟合曲线与实际值曲线的相似度进行检验；后验差检验，属于统计概念，它是按残差的概率分布进行检验。

限于篇幅，本文仅介绍简单常用的残差大小的检验方法。

设建立模型所用实际数据为：，根据GM（1，1）模型建模求出的拟合数据值为。

计算残差，得到残差序列为：
其中，。

计算相对误差，得相对误差为：
计算平均相对误差，得平均相对误差为：
一般要求？着<20%，最好是？着<10%。

3 基于函数变换改进的灰色预测模型
提高灰色预测模型精度的方法主要有两种：研究GM（1.1）模型内部建模机制和对数据序列进行变换处理。

理论研究和具体时间都证明，原始离散数据的光滑度是影响模型精度的关键因素之一，原始离散数据越光滑，利用这些数据所建立的模型的精度就越高，也就越能反应原始数据的真实值和预测原始数据的发展趋势。

但是实际问题中，许多已知数据序列的光滑度很低，这就大大降低了灰色预测的精度，限制了灰色模型的使用范围。

而适当的函数变换能提高建模数据的光滑度，这就为提高灰色预测模型的精度提供了一种有效的解决方案。

常用的函数变换线性变换、抛物线变换、幂函数变换、指数函数变换、对数函数变换、多元线性回归变换等方法。

本文在此仅对构造简单而又能卓有成效地提高预测精度的一元线性函数变换为例说明基于函数变换的灰色预测改进策略。

3.1 一元线性函数变换法的基本思想
假设一元线性函数变换式为：（p，q为参数），则一元线性函数变换法的主要思想是：基于原始数据，以函数变换后的数据作为基本数据来建立灰色预测模
型，然后根据模型进行还原，使得还原后模型的平均相对误差值■■|■|最小。

其中，可用粒子群算法或蒙特卡罗算法等计算一元线性变换函数px（0）（k）+q 中的参数p和q的值，使得其变换结果满足以上基本思想，进而可计算得到变换后的预测模型。

3.2 基于一元线性函数变换法的GM模型建模
同原始的GM（1，1）建模步骤相类似，设有原始非负数据序列：X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…x（0）（n）），其中n为数据个数，得出基于一元线性函数变换的GM（1，1）模型建模步骤如下：
Step1：线性变换
对原始数据序列按线性变换函数生成新的数据序列。

Step2：建模计算
参照传统GM（1，1）模型对新的生成数据序列进行建模计算，得到变换后的新数据序列的预测公式：
预测结果：
Step3：建立预测公式
根据逆变换函数，还原得到原始数据序列所对应的的模型值
再利用GM模型精度检验方法进行模型检验，并与传统灰色预测模型相比较即可。

4 实验及结果分析
农村居民家庭人均纯收入是农村居民纯收入按照农村住户人口平均的纯收入水平，它反映的是全国或一个地区农村居民的平均收入水平。

农村居民家庭人均纯收入是一个年度核算指标，是反映一个国家农业经济发展水平的一个重要指标，是国家制定农业经济发展战略的重要依据，因此建立农村居民家庭人均纯收入预测模型对于农业经济发展规划有着十分重要的意义。

在本文研究的基础上，现以传统GM（1，1）模型和基于一元线性函数变换法的改进型GM（1，1）模型对我国1996-2005年间的农村居民家庭人均纯收入进行建模，预测2006-2008年的数据值，并比较两种不同方法建模的预测精度。

（1）按传统GM（1，1）模型建模，记为模型Ⅰ。

则有：
其中，
（2）按基于一元线性函数变换法的改进型GM（1，1）模型建模，记为模型Ⅱ。

其中，变换函数为，利用蒙特卡罗算法求解出的参数为p=-0.1786，
q=367.8301。

则有：
其中，
将1996-2003年我国农村居民家庭人均纯收入的实际数据代入以上两个模型进行模型计算，并预测2004-2005年的数值，计算结果如表4-1所示：
表4-1 两种预测模型相对误差的比较
由表4-1中的相对误差和平均相对误差可见，本文提出的模型Ⅱ，即基于一元线性函数变换法的改进GM（1，1）模型建模方法得到的平均相对误差明显低于传统的GM（1，1）建模法，这说明本文提出的模型Ⅱ预测模型的数据拟合效果优于传统的GM模型建模法。

表4-2 两种预测模型预测精度的比较
由表4-2的预测误差结果可以看出，模型Ⅱ预测精度明显高于传统的模型Ⅰ。

这说明基于一元线性函数变换法的改进方法在提高灰色预测模型精度方面是有显著作用的，即适当的函数变换能提高建模数据的光滑度，从而也就越能反应原始数据的真实值和预测原始数据的发展趋势，从而提高灰色预测模型的预测精度。

5 结束语
本文从灰色预测理论入手，对灰色系统中的一些概念和GM（1，1）模型的建模过程进行了较为详细的讨论，并针对提高灰色预测精度的建模方法，提出了一种改善原始离散数据光滑度的方法，最后通过一组实例对两种模型进行仿真实验，最终得出结论：一元线性函数变换法有助于改善原始数据的光滑性，对于提高灰色预测模型的预测精度是可行的。

参考文献
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[5]刘利，等.基于GM（1，1）灰色预测模型的营养液控制仿真研究[J].山东理工大学学报（自然科学版），2006，20：66-70.
作者简介：张亚飞（1991，10-），男，河南周口人，中南大学信息科学与工程学院，本科生，研究方向：控制算法、模式识别。