电路分析基础 第7章 耦合电感电路

M
di dt
0
电压表正向读数
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端子，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
当断开S时，如何判定？
耦合电感电路模型
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不 再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
i1 M i2
+* u_12 L1
*+ L2 _u21
11 =N1 11
11
21
施感电流
N1
i1
+ u11 –
11 21
i1
N2 + u21 –
21 =N2 21
互感磁链 Ψ21
L1
11 i1
，称L1为自感系数，单位亨(H)。
M21
21
i1
，称线圈1对线圈2的互感系数，单位亨（H）。
楞次定律 11
21
N1 i1
+ u11 –
N2 + u21 –
自感电压: u22
dΨ 22 dt
N2
dΦ22 dt
L2
di2 dt
( L2
Ψ 22 i2
)
互感电压 : u12
dΨ 12 dt
N1
dΦ12 dt
M12
di2 dt
( M12
Ψ 12 i2
)
可以证明：M12= M21= M。
3、两个线圈同时通电 每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：
11
22
互感
第7章 耦合电感电路
( Mutual Inductance Circuits )
7.1 互感现象及耦合电感元件
先回顾单个线圈的自感（电感）及自感电压；
非铁磁物质
N i
+u–
空心线圈
模型
i
+ uL _
符合右螺旋时：
N Li
: 磁链 (magnetic linkage) : 磁通（magnetic flux） i
+
L2 _u2 *
i2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
•
I1
j M
•
I2
+
+
**
•
U1
j L1
j L2
•
U2
_
_
U 1 jωL1 I1 jωMI2 ZL1I1 ZM I2 U 2 jωMI1 jωL2 I2 ZM I1 ZL2 I2
当电流从各自线圈的某端子流入时 ，其所产生的磁
场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
模型：
i1 M
i2
N1
i1 • 1
2
+ u12 –
i2 • 3 N2
4
+ u21 –
+* u_12 L1
*+ L2 _u21
可知：端子1和3是同名端，（或，端子2和4是同名端）
同名端标记： “• ” 或 “*”等。
u d L di
dt dt
7.1.1 耦合现象
两个线圈彼此靠近，某一线圈通过随时间变化的电流时， 另一线圈受到磁的影响——磁耦合 .
1、一个线圈通电
Φ11 ≥ Φ21
11
N1
N2
21
施感电流
i1 + u11 –
+ u21 –
u11称为自感电压
u21称为互感电压
自感磁链和互感磁链
自感磁链 Ψ11
u
R1i
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
R2i
( R1
R2 )i
u21
M
di1 dt
i1 M i2
+* u_12 L1
+ L2 _u21 *
u21
M
di1 dt
由同名端及 u, i 参考方向，可确定互感线圈的特性方程
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
时域形式：
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
i1 M i2
+* u_1 L1
200 sin(10t )
V
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
800 sin(10t )
V
其中直流 i1电流不产生互感电压和自感电压。
7.1.3 耦合系数
耦合系数 k (coupling coefficient)
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
def
定义耦合系数 k
M
可以证明，k1。
L1 L2
全耦合时 11= 21 ，22 =12
L1
1
i1
N1Φ11 i1
,
L2
2
i2
N 2Φ22 i2
M 21
N 2Φ21 i1
,
M12
N1Φ12 i2
M12 M21 L1L2 , M 2 L1L2
k 1
例7-3
图中，已知电流,
i1 10 A i2 10cos(10t) A L1 3 H L2 8 H M 2 H
di2 dt
11
22
12
21
N11 i1
+ u11 – – u12 +
u1
N22 i2
+ u21 – – u22 +
u2
由上可知：
已知线圈的绕向才能确定互感电压的方向， 这给工程上带来不便。 线圈两端的电压包含自感电压和互感电压; 电压符号与参考方向和线圈绕向有何关联？
7.1.2 同名端与耦合电感 同名端：
ZM jM 互感复阻抗
受控源模型
例7-1
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
i1 10 A
i2 10cos(10t) A L1 3 H L2 8 H M 2 H
图中，已知电流,计算电压 u1 和 u2 。
解 根据耦合电感的电压-电流关系，有
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
12
21
N1
N2
i1 +
u11
– i2 +
u21
–
+ u12 –
u22 –
u1

di1 dt
M
di2 dt
u2
u21
u22
M
di1 dt
L2
di2 dt
当线圈电流方向改变时，互感电压方向也变化。
u1
u11
u12
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
u21
u22
M
di1 dt
L2
同名端还可以从电位升高的角度定义
u21
M
di1 dt
u12
M
di2 dt
例 确定图示电路的同名端。
i
1*
* 2 1 • * 2
3
1'
2' 1'
2'*
3' •
注意：线圈的同名端必须两两确定。
同名端的实验测定： 当闭合开关S时，i 增加， R S 1 i
**
1'
*2
+
*V
–
2'
di 0, dt
u22'
i1 M i2 计算耦合线圈的耦合系数k 。
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
解 由定义公式，
k M 2 1 0.41 L1L2 3 8 6
7.2 含耦合电感电路
7.2.1 串/并联电路
一、互感线圈的串联
1. 顺串
i R1
i
++
*
+
u
u1 –
L1 M
+*
u
R
– – u2
L2
–
L
时域:
R2
当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时：
u11
d11 dt
N1
d11 dt
L1
di1 dt
自感电压
u21
d21 dt
N2
dΦ21 dt
M 21
di1 dt
互感电压
2、另一个线圈通电
同理，当线圈2中通时变电流i2时会产生磁通22和12 。
12
22
N1
N2
i2
+ u12 – + u22 –