安师大附中2017年高中自主招生考试数学试卷及答案

安徽师范大学附属中学2017年自主招生考试

数学素质测试试题

【注意事项】本试卷共4页，总分150分，数学答题时长共120分钟，请掌握好时间，答案写在答题卡上。

一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知非零实数a ，b 满足(2-a )b 2+(3a -6)2+b +1=3a -6，则a b 等于（

）

A ．-1

B ．

12

C ．12

-

D ．2

-2．已知实数c b a ,,满足

c

b a 1

11++=O，1222=++c b a ，则c b a ++的值等于（）

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D．O

3．满足1)2(2

2

=---x x

x 的所有实数x 的和为（

）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．64．如图，以AB 为直径作半圆，C 在圆上，再分别以AC 和BC 为直径作两个半圆，则两阴

影部分面积之和1S 与ABC ∆的面积2S 之间的大小关系为（

）

A ．12

S S

S S >C ．12

S S =D ．不能确定，与

AB

AC

的大小有关5．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一

个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是

（

）

A ．2

21y x =-+B ．2

112

y x =-+C ．241

y x =-+D ．2

114

y x =-

+y

x

O

（第5题图）

（第4题图）

6．如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（）

A ．3

10B ．3

8C、12

D、13

4二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48

分）

7．设236m m +=，236n n +=，且m n ≠，则代数式

221

1n

m +的值为8．ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，已知

23,2310-=+==c b a ，则C c B b sin sin +的值是等于

10．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两

册，恰好组成一套教材的概率是

9．已知βα，是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为

11．在一列数⋯，，，321x x x 中，已知11=x 且当2≥k 时，

])4

2

[41([

411----+=-k k x x k k (取整符号][a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[2.6]=2，[0.2]=0)，则2017x 等于

12．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段BC 的中点，且

BAD DAM MAC ∠=∠=∠。若2AB =，则ABC △内切圆的半径为

（第12题图）

（第6题图）

三．解答题（本题共3小题，每小题18分，共54分）答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．如图，二次函数2y mx nx p =++的图像过A 、B 、C 三点，其中(11)C --，

，点A 、B 在x 轴上（A 在点O 左侧，B 在点O 右侧），且25

sin 5

BAC ∠=

，5

sin 5

ABC ∠=

。（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC △外接圆的半径。

（第13题图）

14．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB m =，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC AB =，连接OC 交⊙O 于D ，BD 的延长线交AC 于E ，连接AD 。

（1）证明：△CDE ∽△CAD ；（2）求线段AE 的长（用m 表示）。

15．求方程2220172018x y x +=的正整数解。

（第14题图）

安徽师范大学附属中学2017年自主招生考试

数学素质测试试题参考答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

7、

103

8、10

9、

3

210、2

-11、1

12、31

-三．解答题（本题共3小题，每小题18分，共54分）答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13、（满分18分）解：（1）作CE x ⊥轴于E ，则1CE =。

由25sin 5BAC ∠=，5sin 5ABC ∠=知，5

2

CA =，5CB =，∴

1

2

EA =

，2EB =，∴点A 坐标为3

(0)2

-，，点B 坐标为(10)，，………6分设所求二次函数的解析式为3

()(1)2

y m x x =+-；

将点(11)C --，的坐标代入二次函数解析式，得31(1)(11)2

m -=-+--，∴

1m =，二次函数得解析式为3

()(1)2

y x x =+-，即21322y x x =+-；

………12分

（2）由（1）知，52

AB =

，2

22AB CA CB =+，∴CA CB ⊥。

∴

ABC △外接圆的半径1

22

R AB =

=45。

……………………

18分

题号123456

答案

B C

A C A

D

（第13题图）