等腰三角形的性质公开课
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跟世 我界 去那 看么 看大
从这数些学三的角观形点有去什思么考特，点这？些图片都含有相同的几何图形吗？
等腰三角形的性质
动动手:
如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折, 并剪去红线下方的部分,再把它展开,得△ABC
B
A
D
C
观察
AC和AB有什么关系?
AC=AB,
像这样有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
等腰三角形的有关概念
AB=AC
A
顶
腰
角
等腰三角形中，
腰 相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边
底角 B
底角 C
底边
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
练一练：
1、等腰三角形一腰长为3cm,底长为4cm,则它的
周长是 10 cm ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
则它的周长是 10 cm 或 11 cm ；
DC
(2) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A_D__ = ∠_C__A_D_，_B__D_= _C_D__.
(3) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠_B__A_D_ =∠__C_A__D. (4) ∵AD是顶角平分线，∴__A_D_ ⊥_B__C_ ，__B_D__ =_C_D___.
知一线得二线 “三线合一”可以帮助我们解决
线段的垂直、相等以及角的相等问题。
练一练：
1、判断正误（口答）
(1) 如图，在△ABC中，
∵ AB＝BC， ∴ ∠B＝∠C.
A
注意使用“等边对等角”时， 边与角的对应关系．
B
C
1、判断正误（口答）
(2) 如图，在△ABC中， ∵ AC＝BC， ∴ ∠ADC＝∠BEC.
C
“等边对等角”只能在
同一个三角形中使用．
思考：左右两部分图形完全重合吗？ 原三角形中有哪两个角相等？
A
A
1、等腰三角形是轴对称图形
对称轴是：折痕AD所在的直线 B D C B D C 2、等腰三角形的两个底角相等
（简写“等边对等角”）
推理论证：
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
证明两个角相等有 什么常见的方法：
练习巩固：书本P81练习第2、4
2.如图，点E在题BC上，AE∥DC，AB=AE.求
证：∠B=∠C.
A
证明：∵ AB=AE
D
∴ ∠B=∠1
1
C
B
E
∵ AE∥DC ∴ ∠1=∠C ∴ ∠B=∠C
4.如图，AB=AC，∠B=40︒，点 D在BC上，且∠DAC=50︒.
A
求证：BD=CD.
证明：∵ AB=AC
B
D
C
∴∠B=∠C
又∵∠B=40︒
∴∠C=40︒
∴∠ADC=180︒- ∠C- ∠DAC
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm 。
已知等腰三角形一边，这一边可能是腰，也可能是底边， 同学们要结合三角形三边的关系加以辨别！
做一做：
（1）把你们刚剪下的等腰三角形拿出来；
（2）把等腰三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。
（3）把等腰三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折 痕为AD。
你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD
∠BAD ＝ ∠CAD B
D
C
AD＝AD
∠ADB ＝∠ADC =90°
结论：AD既是底边上的高、中线，又是 顶角的平分线.
归纳总结：
由这些重合的线 段和角， 你能 发现 等腰三角形的性 质有哪些?
重合的线段 重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD ∠BAD ＝ ∠CAD
AD＝AD ∠ADB ＝ ∠ADC
性质1：等腰三角形两个底角相等(等边对等角) 性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶 角的平分线相互重合，简称“三线合一”。
几何语言：
A
根据等腰三角形性质填空,
在△ABC中， AB=AC，
B
（1） ∵ AB=AC ， ∴∠_B____ = ∠__C___，
三角形全等
B
C 如何构造两个全等的三角形？
已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C
证明：
A
方法一：做顶角∠BAC的平分线AD
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD（SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方已知法：二△：A过BCA中做，ADA⊥B=BAC，C 求垂证足：为∠DB=AC
∵AD⊥BC
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
在Rt△A
D
C
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）
∴∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
方法三：
A
作底边BC边上的中线AD
则有BD＝CD 在△ABD与△ACD中：
A
DE
B
练一练：
2、等腰三角形一个底角为75°,它的另外
两个角为 75°，30°；
A
30°
B
75° 75°
C
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,4_0_°__或___5_5°__,_55_°__；
A
A
70°
40°
55°
B
55°
C
70° 70°
B
C
4、等腰三角形一个角为120°,它的另外两个 角为__3_0_°__, _3_0_°__。
求：顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
解：在△ABC中
A
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角） 又∵∠BAC=100 º
B
D
C
∴∠B=∠C= （180°－∠BAC）÷2=40°(三角形内角和 定理)
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（三线合一）. ∴∠BAD=∠CAD=90 ° － ∠C = 50°
AB＝AC（已知）
BD＝CD
BD C
AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
等腰三角形常见辅助线
A
A
A
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC的 中线AD
如图， 作△ABC 的高AD
如图，作顶角 的平分线AD.
想一想:
由刚才证明的△ABD≌ △ACD，除了能得到∠B＝∠C
① 顶角度数+底角度数× 2 =180° ② 0°＜顶角度数＜180°
③ 0°＜底角度数＜90°
等腰三角形中角的位置不明确时要分类讨论： 1.当给出的角为锐角时它可能是底角也可能是 顶角 2.当给出的角是直角或钝角时它只能是顶角
例题解析：
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱 AD ⊥ BC , 屋椽AB=AC.
从这数些学三的角观形点有去什思么考特，点这？些图片都含有相同的几何图形吗？
等腰三角形的性质
动动手:
如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折, 并剪去红线下方的部分,再把它展开,得△ABC
B
A
D
C
观察
AC和AB有什么关系?
AC=AB,
像这样有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
等腰三角形的有关概念
AB=AC
A
顶
腰
角
等腰三角形中，
腰 相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边
底角 B
底角 C
底边
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
练一练：
1、等腰三角形一腰长为3cm,底长为4cm,则它的
周长是 10 cm ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
则它的周长是 10 cm 或 11 cm ；
DC
(2) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A_D__ = ∠_C__A_D_，_B__D_= _C_D__.
(3) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠_B__A_D_ =∠__C_A__D. (4) ∵AD是顶角平分线，∴__A_D_ ⊥_B__C_ ，__B_D__ =_C_D___.
知一线得二线 “三线合一”可以帮助我们解决
线段的垂直、相等以及角的相等问题。
练一练：
1、判断正误（口答）
(1) 如图，在△ABC中，
∵ AB＝BC， ∴ ∠B＝∠C.
A
注意使用“等边对等角”时， 边与角的对应关系．
B
C
1、判断正误（口答）
(2) 如图，在△ABC中， ∵ AC＝BC， ∴ ∠ADC＝∠BEC.
C
“等边对等角”只能在
同一个三角形中使用．
思考：左右两部分图形完全重合吗？ 原三角形中有哪两个角相等？
A
A
1、等腰三角形是轴对称图形
对称轴是：折痕AD所在的直线 B D C B D C 2、等腰三角形的两个底角相等
（简写“等边对等角”）
推理论证：
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
证明两个角相等有 什么常见的方法：
练习巩固：书本P81练习第2、4
2.如图，点E在题BC上，AE∥DC，AB=AE.求
证：∠B=∠C.
A
证明：∵ AB=AE
D
∴ ∠B=∠1
1
C
B
E
∵ AE∥DC ∴ ∠1=∠C ∴ ∠B=∠C
4.如图，AB=AC，∠B=40︒，点 D在BC上，且∠DAC=50︒.
A
求证：BD=CD.
证明：∵ AB=AC
B
D
C
∴∠B=∠C
又∵∠B=40︒
∴∠C=40︒
∴∠ADC=180︒- ∠C- ∠DAC
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm 。
已知等腰三角形一边，这一边可能是腰，也可能是底边， 同学们要结合三角形三边的关系加以辨别！
做一做：
（1）把你们刚剪下的等腰三角形拿出来；
（2）把等腰三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。
（3）把等腰三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折 痕为AD。
你还能发现什么?
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD
∠BAD ＝ ∠CAD B
D
C
AD＝AD
∠ADB ＝∠ADC =90°
结论：AD既是底边上的高、中线，又是 顶角的平分线.
归纳总结：
由这些重合的线 段和角， 你能 发现 等腰三角形的性 质有哪些?
重合的线段 重合的角
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
BD＝CD ∠BAD ＝ ∠CAD
AD＝AD ∠ADB ＝ ∠ADC
性质1：等腰三角形两个底角相等(等边对等角) 性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶 角的平分线相互重合，简称“三线合一”。
几何语言：
A
根据等腰三角形性质填空,
在△ABC中， AB=AC，
B
（1） ∵ AB=AC ， ∴∠_B____ = ∠__C___，
三角形全等
B
C 如何构造两个全等的三角形？
已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C
证明：
A
方法一：做顶角∠BAC的平分线AD
则有∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD（SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方已知法：二△：A过BCA中做，ADA⊥B=BAC，C 求垂证足：为∠DB=AC
∵AD⊥BC
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
在Rt△A
D
C
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）
∴∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
方法三：
A
作底边BC边上的中线AD
则有BD＝CD 在△ABD与△ACD中：
A
DE
B
练一练：
2、等腰三角形一个底角为75°,它的另外
两个角为 75°，30°；
A
30°
B
75° 75°
C
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,4_0_°__或___5_5°__,_55_°__；
A
A
70°
40°
55°
B
55°
C
70° 70°
B
C
4、等腰三角形一个角为120°,它的另外两个 角为__3_0_°__, _3_0_°__。
求：顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
解：在△ABC中
A
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角） 又∵∠BAC=100 º
B
D
C
∴∠B=∠C= （180°－∠BAC）÷2=40°(三角形内角和 定理)
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（三线合一）. ∴∠BAD=∠CAD=90 ° － ∠C = 50°
AB＝AC（已知）
BD＝CD
BD C
AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
等腰三角形常见辅助线
A
A
A
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC的 中线AD
如图， 作△ABC 的高AD
如图，作顶角 的平分线AD.
想一想:
由刚才证明的△ABD≌ △ACD，除了能得到∠B＝∠C
① 顶角度数+底角度数× 2 =180° ② 0°＜顶角度数＜180°
③ 0°＜底角度数＜90°
等腰三角形中角的位置不明确时要分类讨论： 1.当给出的角为锐角时它可能是底角也可能是 顶角 2.当给出的角是直角或钝角时它只能是顶角
例题解析：
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱 AD ⊥ BC , 屋椽AB=AC.