含参量反常积分的一致收敛性

１ ． １ 设函数
， Ｙ ） 定义在无界区域 ＝ ｛ （ ， Ｙ ） ｆ 口≤ ≤ｂ ， ｃ≤ Ｙ＜＋。 。 ｝ 上， 若对每一个固定的 ∈
√ ｃ
［ ｎ ， ｂ ］ ， 反常积分ｌ ， （ ， Ｙ ） ｄ ｙ （ １ ） 都收敛， 则它的值是 在［ 口 ， ｂ ］ 上取值的函数， 当记这个函数为 ， （ ）
任 何 ∈ ， ， 有 ｌ ｆ ： 一 ‘ ， Βιβλιοθήκη Baidu ｛ ， 取 Ⅳ ＝ 吉 ， 则 Ⅳ ＞ ， 当 ＞ Ⅳ 时 ， 。 ＜ ＜ ， 从 而 对 于 任 何 ∈ ， ，
有 胁 一 ， ：
３ 应 用举 例
卟 即 ｊ ． ≥ ｄ 一 在 ， 上 一 致 收 敛 ． 反 之 ， 当 ｊ ’ ｄ － ｃ
中图分类号 ： ０１ ７ ２． ２ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ２ ０ ９ ５ ． ２ ９ １ ０ ｛ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ０ ０ ９ — ０ ２
现行 的数学 分析 教材 ［ ４ 及 文献 ［ ・ 仅给 出 了含 参 量无穷 限反 常积 分一 致 收敛 的判定 定 理 ， 而 对含 参 量 无界 函数 的反 常积分 及其 一致 收敛性 介绍 较少 ［ ． 然而 我们 可 以将 含参 量无 穷 限 反常 积分 转 化 为含参 量 无 穷 限反常 积分 ， 这是 判断某 些反 常 积分 的一致 收敛 性 时行 之有 效且 简洁 的方法 ． １ 定 义
切 ∈［ ０ ， ｂ ］ ， 都有ｌ ｌ Ｊ Ｉ （ ， Ｙ ） 一， （ ） Ｉ ＜ ￡ ， 即Ｉ Ｉ 厂 （ ， Ｙ ） ｄ ｙ ｝ ＜￡ ， 则称含参量反常积分（ １ ） 在［ 口 ， ｂ ］ 上 ｃ Ｉ Ｉ √ Ｍ ｌ
一
致 收敛 于 ， （ ） ， 或 简单 地说 含参量 积分 （ １ ）在 ［ ｏ， ｂ ］ 上一致 收敛 ．
作者简介 ： 王金 花 （ １ ９ ６ ３ 一 ） ， 女， 河 北 河 闻人 ， 沧 州 师 范 学 院 数 学 系副 教授 ． 主 要 研 究方 向 ： 泛 函 分析 ．
・
９ ・
证 如 果 ｊ （ ， ｙ ） ｄ ｙ 在 ， 上 一 致 收 敛 ， 则 对 于 Ｖ ￡ ＞ ｏ ， ｊ ∈ （ ０ ， ｄ — ｃ ） ， 使 得 当 ｏ ＜ ７ ７ ＜ 时 ， 对 于
ｒｄ
１ ． ３ 设ｆ （ ， Ｙ ） 在 区域 Ｒ ＝ ［ ｏ ， ｂ ］×［ ｃ ， ｄ ］ 上有 定义 ． 若对 的某 些值 ， Ｙ＝ ｄ为 函数ｆ （ ， Ｙ ）的瑕点 ， 则
称Ｉ
， Ｙ ）
（ ３ ） 为含参量的无界函数反常积分．
时 ，对 一 切 ∈ ［ ｏ， ｂ ］ ， 都 有
设ｆ （ ， Ｙ ） 在 区域 Ｒ ＝ Ｉ×［ Ｃ ， ｄ ］ 上有 定义 （ 其中 ， 为 区间） ， 某些 点 （ ， ｄ ） ， ∈ ， 为
ｒｄ １
， Ｙ ） 的瑕点 ， 含
参量无界函 数反常积分Ｉ ， （ ， Ｙ ） ｄ ｙ 在， 上一致收敛的充要条件是： 通过变换 ｄ —Ｙ＝÷后所得含参量无穷
时， 则有 ， （ ） ＝ｌ （ ， Ｙ ） ｄ ｙ ， ∈［ ｏ ， ｂ ］ （ ２ ） ， 称（ １ ） 式为定义在［ 口 ， ｂ ］ 上的含参量 的无穷限反常积分，
或简 称含 参量 反常 积分 ．
１ ． ２ 若含 参量 反 常积分 （ １ ）与 函数 ， （ ） 对任 给 的正数 ｅ ， 总存 在某 一实 数 Ｎ ＞ ｃ ， 使得 当 Ｍ ＞ Ｎ时 ， 对一
ｄ 一 ） ｄ 在， 上 一 致 收 敛 时 ， 完 全 类 似 地 又 可 证 明ｌ ｄ 厂 （ ， ｙ ） ｄ ｙ 在， 上 一 致 收 敛 ．
ｒ＋ ∞ １ １
限 反 常 积 分 Ｊ （ ， ｄ 一 吉 ） 在 ， 上 一 致 收 敛 ・
收稿 Ｅ ｔ 期： ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． １ ０
基金项 目： ２ ０ １ ２年 度 河 北 省 教 育 厅课 题 “ 数 学分 析 中教 法与 函数 分 析 性 质 的 研 究” ， 编号 ： Ｎ ｏ ． Ｚ ２ ０ １ ０ ０ ５ ５
王 金 花 ， 赵 志 平 （ １ ． 沧州 师范 学 院 数学 系 ， 河 北 沧州 ０ ６ １ ０ ０ １ ； ２ ． 泊 头职业 学 院 ， 河北 泊头 ０ ６ ２ １ ５ ０ ）
摘 要： 通过对积分 变量作 变量 变换将两种含参量反常积分的一致收敛性建立联 系， 给 出了借助含参量
１ ． ４ 对任给正 数 ｅ ，总 存 在 某 正 数 ＜ ｄ — ｃ ，使 得 当 ０ ＜ 刀 ＜
ｌ Ｉ 广 Ｉ ｄ ， （ Ｙ ｛ １ Ｊ ｄ ） ｄ ｙ Ｉ ＜ｅ ， 则称含参量反常积分（ ３ ） 在［ ｎ ， ｂ ］ 上一致收敛． Ｉ
，
一
２ 定 理
第 ２ ９卷第 ２期
２ ０ １ ３年 ６月
沧 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｃ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ １ ． ２ ９． Ｎｏ． ２
Ｊ ｕ ｎ． ２ ０１ ３
含 参 量 反 常 积 分 的 一 致收 敛 性
无 穷 限反 常 积 分 的 一 致 收敛 性 判 断含 参 量 无 界 函数 反 常 积 分 一 致 收 敛 性 的 一 种 方 法 ， 从 而在 一 定 程 度 上将二者统一 ， 加 深读 者 的理 解与 认 识 ．
关键词 ： 含 参 量 无 穷 限反 常积 分 ； 含 参 量 无 界 函数 反 常积 分 ； 一 致 收 敛