有界线性算子和连续线性泛函

例5 设 Rn是 n 维线性空间，在 Rn中取一组基 {e1,,en}，则 对任何的 x R，nnΒιβλιοθήκη x 可以唯一的表示成x
v ev
v1
，对每一
个
nn
方阵
(t )。作Rn到
Rn
中算子
n
n
T 如下： 当 x vev 时，令 y Tx yueu
v1
1
n
其中 y t , 1,2,n. 显然这样定义的 T是线性算子， 这个算子在线性 1
但
Txn n xn
令
yn

xn n xn
n 1,2,, 则
yn
1 0(n ) ，所以 yn
n
0(n ) ，
由 T 的连续性，得到 Tyn T 0 0(n ) ，但由于 T 是线性算子，又可以得到
对一切正整数n ，成立
Tyn
T ( xn ) Txn
例2 设 P[0,1]为 [0.1]区间上的多项式全体，对每个x P[0,1] 定义 (Tx)(t) d x(t) dt
由求导运算的线性性质，立即可知 T是P[0,1] 到 P[0,1] 中的 线性算子，称为微分算子， 如果任取 t0 [0,1] ，对任何 x P[0,1] 定义 f (x) x(t0 )则 f 是P[0,1]上线性泛函。 例3 对每个 x C[a,b] ，定义
T (x y) T (x) T ( y)
T (x) T (x)
（1） （2）
则称T为 A到Y中的线性算子，其中 A称为T的定义域，记为A(T )，TA称为 T的值域，记为
R(T )，当 T取值于实（或复）域时，就称 T 为实（或复）的线性泛函。如果 T为线性算子，
在（2）中取 0，立即可得 T0 0，即0 (T )，其中 (T )表示算子 T 的零空间
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
§1 §2 §3
有界线性算子和连续线性泛函 有界线性算子空间和共轭空间 广义函数大意
II
§1有界线性算子与连续线性泛涵
I 线性算子与线性泛涵的定义
II 有界线性算子与连续线性泛函
III 有界线性算子和连续线性泛涵的例子
教学目标：1 初步掌握线性算子和线性泛函的定义及苏相关的例子 2 掌握有界线性 算子和连续线性泛函的定义和两个充要条件 3 初步掌握有界线性算子的性质及应用
教学重点： 有界线性算子和连续线性泛函的定义和两个充要条件
教学难点： 有界线性算子和连续线性泛函的两个充要条件的证明过程
课型： 新课型
教学方法：讲解法
I 线性算子与线性泛涵的定义
定义1 设X和 Y是两个同为实（或复）的线性空间，A是 X 的线性子空间，T为 A
到 Y中的映射，如果对任何x, y A，及数 ，成立
则 T 为有界算子的充要条件为 T是 X上连续算子。
证明 若 T 有界，由（3）式，当 xn x(n ) 时，因为
Txn Tx c xn x
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。
反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
Tx c x
（3）
则称 T是 A(T )到 Y 中的有界线性算子，当 A(T ) X时，称 T 为 X 到 Y中的有界线性
算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。
定理1 设 T是赋范空间 X 到赋范空间 Y中的线性算子，
代数中称为线性变换，算子T 显然由方阵 (t ) 唯一确定，有时 就记为 T (t )。
反过来，设 T 是 Rn到 Rn中线性算子，令
Te t1e1 t2e2 tnen 1,2,, n
n
n
n
则当 x vev 时，由 T 的线性性可得 Tx yueu ，这里 y t，即 T 是对应于
n
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2 ,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T是 X的线性子空间 A(T )到 Y 中的
v1
1
1
方阵 (t ) 的算子。 由此可知，在有限维空间上，当基选定以后，线性算子与矩阵是相对应的。
设
(1,2 ,,n ) 是一组数，当
n
x vev
时，定义
v1
n
f (x) 1
易知 f 为 Rn上的线性泛函。反之，如果 f 为 Rn上的线性 泛函，记 f (e ) 1,2,,n
t
(Tx)(t) a x( )d
由积分的线性性质，可知 T是 C[a,b]到 C[a,b] 中的线性算子，若令
b
f (x) a x( )d
则 f 是 C[a,b]上的线性泛函。
例4 对任何 x C[a,b] ，令 (Tx)(t) tx(t) 易知 T 是线性算子，称为乘法算子， 它在物理及算子普理论中是非常有用的一种算子。
n xn
n xn
n xn n xn
1
这与 Tyn 0(n ) 矛盾，所以T 是有界算子，证毕。
对于线性泛涵，我们还有下面的定理
定理2 设 X是赋范线性空间，f 是 X 上线性泛涵，那么 f 是 X上连续泛涵的
充要条件为 f 的零空间 ( f )是 X中的闭子空间。
证明 设 f 是连续线性泛涵，当 xn ( f ) n 1,2,, 并且 xn x(n ) 时，由 f
(T ) {x :Tx 0, x A(T )}
下面举一些线性算子和线性泛函的例子
T
例1 设 X是线性空间， 是一给定的数，对任何 x X 令
T (x) x
显然 T是 X 到 X中的线性算子，称为相似算子，特别当 1时，称为恒等算子， 记为 I x或 I，当 0时，称为零算子，记为O 。