2013新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》word教案

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：秦雪峰 审稿人：张林

3.2立体几何中的向量方法

教学目标：

1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平

行与垂直、法向量求法

2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法

3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何

的本质

重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法

教学过程：

相关知识与能力： 一.空间距离的计算

1. 空间两点间的距离：设A 、B 是空间两点，则A 、B 两点间的距离d=|AB |

2.两条异面直线间的距离：设a 、b 是两条异面直线，n 是a 、b 的公共法向量（即b n a n ⊥⊥且），点A ∈a,B

∈b

则异面直线a 、b 间的距离

d =

即n AB 在方向上的射影长为异面直线a 、b 间的距离。 3.点（或线）到平面的距离：

1）设,.,外一点是平面点的法向量是平面ααo P P

是平面α内任一点，则P O

d =

2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。 二.空间角度的计算

1. 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n ∥l 1 ， m ∥l 2，则l 1与l 2所成的角

α=<，>或α=л -<，> （0<α≤

2

π） 所示图）

见第一3.cos sin =

=βθ

cos

（0<α≤

2

π） 2. 斜线P 0P 与平面α所成的角θ

)2

0(π

θ<<

3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为m n ,，则α与β所成的角的大小为 或

><-m n ,π（如何确定？）

典例分析：

例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D ,1的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 4

1

=

，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题。 （1）求证：EF ⊥B 1C ；

（2）求EF 与C 1G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长。

解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，则E （0，0，

2

1） F （

0,21,21）C （0，1，0）B 1（1，1，1）C 1（0，1，1），G （0，4

3，0） ∵ )1,0,1(),21,21,21(1--=-=B ∴ 02

1

0211=++-=⋅B

则B 1⊥即C B EF 1⊥

α

B C

D β

A

（2）)1,41,0(1-

=C ∴ 4

171)41(0222=+-+=

由（18

30)21(4321021231)21()21(1222=⋅-+⋅+⋅=⋅⇒=++=

C

故EF 与G C 1所成角的余弦值为

17

51

（3）∵ H 为C 1G 1的中点 ∴ H （0，

2

1,87），又F （0,21,21）

∴ 8

41)021()2187()210(222=

-+-+-=

即841=FH 例2.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；

（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值。

解：（1）A （2，2，0）B 1（2，0，2），E （0，1，0），D 1（0，2，2） （2）∵ )2,1,0(),2,2,0(11=-=ED AB

∴ 22=2420,511=+-=⋅=

ED AB

∴ 1AB 与1ED 所成的角的余弦值为

10

10 例3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；

（3）求二面角C —PB —D 的大小。

解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设DC=a 。

（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG 依题意得A （0,0,a ），P （0，0，a ），E （2

,2,

0a

a ） ∵ 底面ABCD 是正方形 ∴ G 是此正方形的中心 故点G 的坐标为（

0,2,2a a ）且),0,(a a -=，)2

,0,2(a a EG -= ∴ EG PA 2=，这表明PA//EG ，而⊂EG 平面EDB 且PA ⊄平面EDB ∴ PA//平面EDB

（2）证明：依题意得B （0,,a a ），),,(a a a -=

又)2,2,0(a a DE =，故02

202

2=-+

=⋅a a ∴ PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且E DE EF =⋂，所以PB ⊥平面EFD

（3）解：设点F 的坐标为（000,,z y x ），λ=，则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ 从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===，所以)2

,2,

(000z a

y a x ---= ))2

1

(,)21(,(a a a ---=λλλ

由条件EF ⊥PB 知，0=⋅即0)2

1()2

1

(2

2

2

=---+-a a a λλλ

解得31=

λ ∴ 点F 的坐标为（32,3,3a a a ） 且)3

2,3,3(),6,6,3(a

a a FD a a a FE -

--=--= 03

2332

22=+--=⋅a a a FD PB ，即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平

面角

∵ 6

91892

222a a a a =+-=⋅

a a a a a a a a 3

6

94996636369222222=++==++=

∴

2

1

3

6666cos 2

=

⋅==a a a EFD ∴ 3

π

=

∠EFD ，所以，二面角C —PC —D 的大小为

3

π 巩固练习：

1、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：EF//平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；

（3）若︒=∠45PDA ，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小。