数学竞赛知识点
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欧拉函数
φ 函数的值 通式： φ (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4) , ..(1-1/pn), 其中 p1, p2 ,, pn 为 x 的所有质因数， x 是不为 0 的整数。 φ(1)=1 （唯一和 1 互质的数 ( 小于等于 1) 就是 1 本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12=2*2*3 那么 φ （ 12 ） =12* （ 1-1/2 ） *(1-1/3)=4
r( θ)=a表示一个以极
点为中心半径为 a 的圆。 直线
经过极点的射线由如下方程表示 θ=φ
,其中 φ为射线的倾斜角度，若 k 为直角坐标系的射线的斜率，则有 φ = arctan k 。 任
何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。
这些在点 （ r0, φ）处的直线与射线 θ = φ垂 直，
其方程为
直线方程
一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向
式，点向式。
点斜式
已知直线一点 (x1,y1,) 并且存在直线的斜率 k，则直线可表示为： y-y1=k(x-x1) 。适用范
围：斜率 K 存在的直线。
斜截式
已知与 Y 轴的交点（ 0， b ），斜率为 K，则直线可表示为： y=kx+b 。适用范围：斜率
极坐标方程
于极点（ 90°/270 °）对称，如果 r( θ-α) = r( ，θ则）曲线相当于从极点顺时针方向旋转 圆
α°。
方程为 r( θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在 (r0, φ半) 径为 a 的圆的方程为 r^2- 2rr0cos( θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程
已知与坐标轴的交点（ a， 0），（ 0 ， b）时，截距式的一般形式： x/a+y/b=1 （a≠０且
b≠０）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。
一般式
ax+by+c=0 (A 、B 不同时为 0) 。斜率： -A/B 截距： -C/B 。两直线平行时： A1/A2=B1/B2 ≠ C1/C2 ，则无解。两直线相交时： A1/A2≠ B1/B2；两直线垂直时： A1A2+B1B2=0
点向式
a， b），则 a（ x-x0 ） +b （ y-y0 ） =0 ，
知道直线上一点 (x0,y0) 和方向向量（ u,v ）， (x-x0)/u=(y- y0)/v (u ≠0,v ≠。0)
极坐标系
极坐标系（ polar coordinates ）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平
若 n 是质数 p 的 k 次幂， φ(n)=p^k -p^(k-1)=(p-1)p^(k-1) ，因为除了 p 的倍数外，其他 数都跟 n 互质。
设 n 为正整数，以 φ(n)表示不超过 n 且与 n 互 素的正整数的个数，称为 n 的欧拉函数值，这里函数 φ： N→Ｎ ，n→φ (n)称为欧拉函数。 欧拉函数是积性函数 —— 若 m,n 互质， φ(mn)=φ(m) φ(n。) 特殊性质：当 n 为奇数时， φ(2n)= φ(n),证明与上述类似。 若 n 为质数则 φ(n)=n-1 。
计算公式
n 个不同元素的 m- 圆排列个数 N 为：
特别地，当 m=n 时， n 个不同元素作成的圆排列总数 N 为：
。
费马小定理
费马小定理 (Fermat Theory) 是数论中的一个重要定理，其内容为：
假如 p 是质数，且
(a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡１（ mod p ）。即：假如 a 是整数， p 是质数，且 a,p 互质 (即两者只
2 ．圆幂定理已知⊙ (O, r) ，通过一定点 P ，作⊙ O 的任一割线交圆于 A, B ，则 PA ， PB 为 P 对于⊙ O 的幂，记为 k，则
a 个，格点多边形的边上有格点
该格点多边形面积为 S ，
则根据皮克公式有 S=a+b/2-1 。
b 个，
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角
定义
三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠ 特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
设
是整数 m1,m2, ... ,mn 的乘积，并设
是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。
设
为 模 的数论倒数
：方程组 的通解
形式
：
在模 的意义下，方程组
只有一个解：
同余
同余公式也有许多我们常见的定律 ,比如相等律 ,结合律 ,交换律 ,传递律 …．如下面的表 示:
1)a ≡ a(mod d) 2)a ≡ b(mod d) → b≡ a(mod d) 3)(a ≡ b(mod d),b ≡ c(mod d)) → a≡ c(mod d) 如果 a≡x(mod d),b ≡m(mod d),则 4)a+b ≡ x+m （ mod d ） 其中 a≡x (mod d) ， b≡m(mod d) 5)a- b≡ｘ-m (mod d) 其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d) 6)a*b ≡ x*m (mod d ) 其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d) 7） a≡ｂ（ mod d ）则 a-b 整除 d
如果此二圆相交， 则该
轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．
三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．
三个圆的根心对于三个圆等幂．
当三个圆两两相交时，三条公共弦 (就是两两的根轴 )所在直线交于一点．
1 ．定义从一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点 A 于这圆周的幂．
数学
均值不等式
被称为均值不等式。 ·即调和平均数不超过几何平均数，几何
平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为
“调几算方 ”。
其中：
，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
一般形式
，被称为平方平均数。
设函数
（当 r 不等于 0 时）；
时），有
时，
。
可以注意到， Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即
O-ABC 。
三面角的补三面角： 由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射 线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质
1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于
三面角相关定理
180°，小于 540°。
设三面角∠ O-ABC 的三个面角∠ AOB 、∠ BOC 、∠ AOC 所对的二面角依次为∠ OC ，
从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 中国剩余定理说明： 假设整数 m1,m2, ... ,mn 两两互质， 则对任意的整数： a1,a2, ... ,an ， 方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
。
特例
⑴对实数 a,b ，有
（当且仅当 a=b 时取 “=号”），
当 a=-b 时取 “=号”）
⑵对非负实数 a,b，有
，即
⑶对非负实数 a,b，有
⑷对实数 a,b ，有 ⑸对非负实数 a,b，有
⑹对实数 a,b ，有
（当 r=0 （当且仅
⑺对实数 a,b,c ，有
⑻对非负数 a,b ，有
⑼对非负数 a,b,c ，有 在几个特例中，最著名的当属算术
面上取定一点 O，称为极点。从 O 出发引一条射线 Ox ，称为极轴。再取定一个长度单位，
通常规定角度取逆时针方向为正。 这样， 平面上任一点 P 的位置就可以用线段 OP 的长度 ρ
以及从 Ox 到 OP 的角度 θ来确定，有序数对（ ρ， θ）就称为 P 点的极坐标，记为 P（ ρ，
θ）； ρ称为 P 点的极径， θ称为 P关系： α+β＝ ， α·β＝，那么这两个数 α和 β是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元 根与系数的关系。
定理： 设 （ i=1 、 2、 3 、……ｎ）是方程：
r( θ )=r0sec( -φθ） 圆幂
点到圆的幂：设 P 为⊙ O 所在平面上任意一点， PO=d ，⊙ O 的半径为 r，则 d^2 － r^2
就是点 P 对于⊙ O 的幂．过 P 任作一直线与⊙ O 交于点 A、 B ，则 PA · PB= |d2 － r2| ．
“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，
有一个公约数 1) ，那么 a 的 (p-1) 次方除以 p 的余数恒等于 1。
组合恒等式
组合数 C(k,n) 的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。 基本的组合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑ C(i,n)=2^n ∑ [(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) （这个性质叫组合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ …… +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p- 2,m)+ …… +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)
格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点
性质
(lattice point) 或整点。
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也
有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点
存在的直线。
两点式
两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（
X1 ， Y1 ），（ X2 ，Y2 ）时，将
直线的斜率公式 k=(y2-y1)/(x2-x1) 代入点斜式时，得到两点式
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
截距式
。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。
—几何均值不等式（ AM-GM 不等式）：
当 n=2 时，上式即：
当且仅当
时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证 只需证 根据基本不等式
只需证 ∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数 （用三角形式表示）
。 ，则：
复数乘方公式： .
圆排列
定义
从 n 个不同元素中不重复地取出 m （1≤m≤ｎ）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同 元素的圆排列。 如果一个 m- 圆排列旋转可以得到另一个 m- 圆排列， 则认为这两个圆排列相 同。
[5] n 次方程
的 n 个根，记
k 为整数），则有：
。[
实系数方程虚根成对定理：
实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 是一个根。
无穷递降法
z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则 =a-bi 也
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。 从 X 推出一个更小的解 Y。
A1/B1×A2/B2=-1 ，都只有一个交点。两直线重合时： A1/A2=B1/B2=C1/C2 ，则有无数解。
适用范围：所有直线均可适用。
法线式
过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为
α，p 是该线段的长度。
x· cos α +y sin-p=α0 。
法向式
知道直线上一点（ x0 ，y0 ）和与之垂直的向量（ 法向量 n= （a ， b ）方向向量 d= （b ， -a ）k=a/b 。
∠OA ，∠ OB 。
1、三面角正弦定理： sin ∠ OA/sin ∠ BOC=sin ∠ OB/sin ∠AOC=sin ∠ OC/sin ∠ AOB 。 2、三面角第一余弦定理： cos ∠BOC=cos ∠ OA× sin ∠ AOB× sin ∠ AOC+cos ∠ AOB× cos ∠AOC 。 3、三面角第二余弦定理： cos ∠ OA=cos ∠ BOC× sin ∠ OB× sin ∠ OC-cos ∠ OB× cos ∠ OC 。
φ 函数的值 通式： φ (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4) , ..(1-1/pn), 其中 p1, p2 ,, pn 为 x 的所有质因数， x 是不为 0 的整数。 φ(1)=1 （唯一和 1 互质的数 ( 小于等于 1) 就是 1 本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12=2*2*3 那么 φ （ 12 ） =12* （ 1-1/2 ） *(1-1/3)=4
r( θ)=a表示一个以极
点为中心半径为 a 的圆。 直线
经过极点的射线由如下方程表示 θ=φ
,其中 φ为射线的倾斜角度，若 k 为直角坐标系的射线的斜率，则有 φ = arctan k 。 任
何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。
这些在点 （ r0, φ）处的直线与射线 θ = φ垂 直，
其方程为
直线方程
一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向
式，点向式。
点斜式
已知直线一点 (x1,y1,) 并且存在直线的斜率 k，则直线可表示为： y-y1=k(x-x1) 。适用范
围：斜率 K 存在的直线。
斜截式
已知与 Y 轴的交点（ 0， b ），斜率为 K，则直线可表示为： y=kx+b 。适用范围：斜率
极坐标方程
于极点（ 90°/270 °）对称，如果 r( θ-α) = r( ，θ则）曲线相当于从极点顺时针方向旋转 圆
α°。
方程为 r( θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在 (r0, φ半) 径为 a 的圆的方程为 r^2- 2rr0cos( θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程
已知与坐标轴的交点（ a， 0），（ 0 ， b）时，截距式的一般形式： x/a+y/b=1 （a≠０且
b≠０）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。
一般式
ax+by+c=0 (A 、B 不同时为 0) 。斜率： -A/B 截距： -C/B 。两直线平行时： A1/A2=B1/B2 ≠ C1/C2 ，则无解。两直线相交时： A1/A2≠ B1/B2；两直线垂直时： A1A2+B1B2=0
点向式
a， b），则 a（ x-x0 ） +b （ y-y0 ） =0 ，
知道直线上一点 (x0,y0) 和方向向量（ u,v ）， (x-x0)/u=(y- y0)/v (u ≠0,v ≠。0)
极坐标系
极坐标系（ polar coordinates ）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平
若 n 是质数 p 的 k 次幂， φ(n)=p^k -p^(k-1)=(p-1)p^(k-1) ，因为除了 p 的倍数外，其他 数都跟 n 互质。
设 n 为正整数，以 φ(n)表示不超过 n 且与 n 互 素的正整数的个数，称为 n 的欧拉函数值，这里函数 φ： N→Ｎ ，n→φ (n)称为欧拉函数。 欧拉函数是积性函数 —— 若 m,n 互质， φ(mn)=φ(m) φ(n。) 特殊性质：当 n 为奇数时， φ(2n)= φ(n),证明与上述类似。 若 n 为质数则 φ(n)=n-1 。
计算公式
n 个不同元素的 m- 圆排列个数 N 为：
特别地，当 m=n 时， n 个不同元素作成的圆排列总数 N 为：
。
费马小定理
费马小定理 (Fermat Theory) 是数论中的一个重要定理，其内容为：
假如 p 是质数，且
(a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡１（ mod p ）。即：假如 a 是整数， p 是质数，且 a,p 互质 (即两者只
2 ．圆幂定理已知⊙ (O, r) ，通过一定点 P ，作⊙ O 的任一割线交圆于 A, B ，则 PA ， PB 为 P 对于⊙ O 的幂，记为 k，则
a 个，格点多边形的边上有格点
该格点多边形面积为 S ，
则根据皮克公式有 S=a+b/2-1 。
b 个，
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角
定义
三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠ 特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
设
是整数 m1,m2, ... ,mn 的乘积，并设
是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。
设
为 模 的数论倒数
：方程组 的通解
形式
：
在模 的意义下，方程组
只有一个解：
同余
同余公式也有许多我们常见的定律 ,比如相等律 ,结合律 ,交换律 ,传递律 …．如下面的表 示:
1)a ≡ a(mod d) 2)a ≡ b(mod d) → b≡ a(mod d) 3)(a ≡ b(mod d),b ≡ c(mod d)) → a≡ c(mod d) 如果 a≡x(mod d),b ≡m(mod d),则 4)a+b ≡ x+m （ mod d ） 其中 a≡x (mod d) ， b≡m(mod d) 5)a- b≡ｘ-m (mod d) 其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d) 6)a*b ≡ x*m (mod d ) 其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d) 7） a≡ｂ（ mod d ）则 a-b 整除 d
如果此二圆相交， 则该
轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．
三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．
三个圆的根心对于三个圆等幂．
当三个圆两两相交时，三条公共弦 (就是两两的根轴 )所在直线交于一点．
1 ．定义从一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点 A 于这圆周的幂．
数学
均值不等式
被称为均值不等式。 ·即调和平均数不超过几何平均数，几何
平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为
“调几算方 ”。
其中：
，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
一般形式
，被称为平方平均数。
设函数
（当 r 不等于 0 时）；
时），有
时，
。
可以注意到， Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即
O-ABC 。
三面角的补三面角： 由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射 线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质
1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于
三面角相关定理
180°，小于 540°。
设三面角∠ O-ABC 的三个面角∠ AOB 、∠ BOC 、∠ AOC 所对的二面角依次为∠ OC ，
从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 中国剩余定理说明： 假设整数 m1,m2, ... ,mn 两两互质， 则对任意的整数： a1,a2, ... ,an ， 方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
。
特例
⑴对实数 a,b ，有
（当且仅当 a=b 时取 “=号”），
当 a=-b 时取 “=号”）
⑵对非负实数 a,b，有
，即
⑶对非负实数 a,b，有
⑷对实数 a,b ，有 ⑸对非负实数 a,b，有
⑹对实数 a,b ，有
（当 r=0 （当且仅
⑺对实数 a,b,c ，有
⑻对非负数 a,b ，有
⑼对非负数 a,b,c ，有 在几个特例中，最著名的当属算术
面上取定一点 O，称为极点。从 O 出发引一条射线 Ox ，称为极轴。再取定一个长度单位，
通常规定角度取逆时针方向为正。 这样， 平面上任一点 P 的位置就可以用线段 OP 的长度 ρ
以及从 Ox 到 OP 的角度 θ来确定，有序数对（ ρ， θ）就称为 P 点的极坐标，记为 P（ ρ，
θ）； ρ称为 P 点的极径， θ称为 P关系： α+β＝ ， α·β＝，那么这两个数 α和 β是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元 根与系数的关系。
定理： 设 （ i=1 、 2、 3 、……ｎ）是方程：
r( θ )=r0sec( -φθ） 圆幂
点到圆的幂：设 P 为⊙ O 所在平面上任意一点， PO=d ，⊙ O 的半径为 r，则 d^2 － r^2
就是点 P 对于⊙ O 的幂．过 P 任作一直线与⊙ O 交于点 A、 B ，则 PA · PB= |d2 － r2| ．
“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，
有一个公约数 1) ，那么 a 的 (p-1) 次方除以 p 的余数恒等于 1。
组合恒等式
组合数 C(k,n) 的定义：从 n 个不同元素中选取 k 个进行组合的个数。 基本的组合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑ C(i,n)=2^n ∑ [(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) （这个性质叫组合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ …… +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p- 2,m)+ …… +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)
格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点
性质
(lattice point) 或整点。
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也
有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点
存在的直线。
两点式
两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（
X1 ， Y1 ），（ X2 ，Y2 ）时，将
直线的斜率公式 k=(y2-y1)/(x2-x1) 代入点斜式时，得到两点式
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
截距式
。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。
—几何均值不等式（ AM-GM 不等式）：
当 n=2 时，上式即：
当且仅当
时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证 只需证 根据基本不等式
只需证 ∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数 （用三角形式表示）
。 ，则：
复数乘方公式： .
圆排列
定义
从 n 个不同元素中不重复地取出 m （1≤m≤ｎ）个元素在一个圆周上，叫做这 n 个不同 元素的圆排列。 如果一个 m- 圆排列旋转可以得到另一个 m- 圆排列， 则认为这两个圆排列相 同。
[5] n 次方程
的 n 个根，记
k 为整数），则有：
。[
实系数方程虚根成对定理：
实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 是一个根。
无穷递降法
z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则 =a-bi 也
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。 从 X 推出一个更小的解 Y。
A1/B1×A2/B2=-1 ，都只有一个交点。两直线重合时： A1/A2=B1/B2=C1/C2 ，则有无数解。
适用范围：所有直线均可适用。
法线式
过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为
α，p 是该线段的长度。
x· cos α +y sin-p=α0 。
法向式
知道直线上一点（ x0 ，y0 ）和与之垂直的向量（ 法向量 n= （a ， b ）方向向量 d= （b ， -a ）k=a/b 。
∠OA ，∠ OB 。
1、三面角正弦定理： sin ∠ OA/sin ∠ BOC=sin ∠ OB/sin ∠AOC=sin ∠ OC/sin ∠ AOB 。 2、三面角第一余弦定理： cos ∠BOC=cos ∠ OA× sin ∠ AOB× sin ∠ AOC+cos ∠ AOB× cos ∠AOC 。 3、三面角第二余弦定理： cos ∠ OA=cos ∠ BOC× sin ∠ OB× sin ∠ OC-cos ∠ OB× cos ∠ OC 。