弹性波动力学

得分

概念题（本大题25分）

1. 试分别说明应变张量中e 11、e 12及ii e θ=的几何意义。 54

2. 已知一般平面位移波的表达式为()(),t f ct =⋅-u x x n d ，试讨论n 和d 的物理意义；纵波和横波中n 与d 之间有什么关系？

3. 如图所示的具有自由界面的弹性半空间体，已知势函数分别为φ、ψ，试以势函数φ和ψ表达二维平面运动问题的应力边界条件。 提示：()2,3,3,2e e αβαβαβαγγββγγατλφδμφμψψ=∇+++

4. 已知非均匀平面简谐波的位移表达式为()(),e e i t t A ω'

⋅-''-⋅=k x k x u x d ，试指出

其等振幅面和等位相面。

5. Rayleigh 面波有哪些特点？ 199

二、证明题（本大题20分）

1. 若应力张量场为ij ij p τδ=-，其中()123,,p p x x x =。

试证此时运动微分方程

x 1

得分

为：p ρρ-∇+= f u

4-18

2. 设一弹性体处于平面应力情形，其内的应力张量场为：

()()()()()1112121212122212,,0,,0000ij x x x x x x x x τττττ⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（1）试推导出此种情形的平衡方程

（2）如果21122x φτ∂=∂，22221x φτ∂=∂，21212x x φτ∂=-∂∂；其中()12,x x φ是个标量函

数。试证明此应力分量恒满足体力为零的平衡方程

4-19 三、计算题（本大题55分）

1.（10分）设弹性体只在坐标面ox 1x 2平面内发生变形，即e 33=e 13=e 23=0。在该平面内，现在测量得过点P 与ox 1成30°、90°、150°方向的正应变分别为a 、b 和c 。试求该点处的e 11、e 22和e 12。3-1

2.（10分）如图所示一完全淹没于水中的梯形截面坝体，设水的密度为ρ。试写出静水压力作用下坝体的AB 、AC 及CD 各面上的边界条件。 4-21

3.（10分）有一矩形弹性平板，取板面为坐标面ox 1x 2。已知其各点的位移为：

()111p u x E ν-=-，()221p u x E

ν-=-，332p

u x E ν=。其中p 为常量。试求应变分量、应力分量及物体所受的表面力（不计体力）。

h

4.（10分）在x 2>0的弹性半空间内，有平面简谐SH 波沿坐标面ox 1x 2内的某一方向入射到弹性半空间的平界面x 2＝0上。已知平界面x 2＝0受到完全的刚性约束，试求反射系数。（提示：当只有SH 波入射时，

()

()

1221223ik x p x ct ik x p x ct u Ae

Be

--+-=+）

8-3

5.（15分）设有由理想弹性体构成的弹性半空间，如图所示。其lam é系数为λ、μ，密度为ρ，弹性体单位质量的体力为3g =f e （g 为常数），其边界

x 3=0为自由界面，试求此半无限弹性体在此均匀体力作用下的位移及应力分布。假设在x 3=h 处位移分量u 3=0。（提示：该问题为线弹性静力学问题，由于沿ox 1、ox 2无限大，且只有沿ox 3方向的均匀体力作用，因而可假定u 1=u 2=0，u 3=u 3(x 3)）

6.7例-122

x 1