矢量代数基础

ex ey ez A× B = A x A y A z Bx By Bz
• 合矢量投影定理 若 AR =∑Ai , 则 ARx =∑Aix , ARy =∑Aiy , ARz =∑Aiz • 混合积的投影表达式
Ax Ay Az A·(B×C) = Bx By Bz Cx Cy Cz
习
题
1.1 求矢量A=2i－j＋k，B=i＋j＋2k，C=3i－2j＋4k 之和 的方向上的单位矢量。 1.2 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋j－2k，计算 (A＋B)·(A－B)。 1.3 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋yj－2k，试求使A⊥B的y。 1.4 若A=2i＋j＋k，B=i－2j＋2k，C=3i－4j＋2k，求 A＋C 在B 方向的投影。 1.5 一个三角形的三个顶点在 A (2,3,1)，B (－1,1,2)，C (1,－2,3)，求从点B引向边AC的中线的长度，以及此中 线与边BC的夹角。
ey
x
• 基矢量的正交性
ez ex ey
ex·ex = ey·ey = ez·ez = 1 ex·ey = ey·ez = ez·ex = 0
ex×ex = ey×ey = ez×ez = 0 ex×ey = ez , ey×ez = ex , ez×ex = ey
以上结果可由直接计算得出。
8.
A× B C
h
B A
• 轮换公式 A · (B×C) = B · (C×A) = C · (A×B) • 此外，显然有 A、B、C共面
⇔
A·(B×C) = 0
7.
基矢量
z
• 沿空间直角坐标系 Oxyz 各坐标轴正向 的 单 位 矢 量 ex、ey、 ez称为基矢量。
ez ex
y
• 有时也用 i、j、k 表 示基矢量。
矢量在某轴上的投影
设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N 上的投影为
An = A·en =︱A︱cos (A,en)
注意矢量在轴上的投影 An 是一个代数量， 正负号取决于A与en之间的夹角。
A eB B
θ
矢量A在轴 B上的投影: AB= A · e B
AB = A · e B
任意两个矢量A 与B之间的夹角:
矢量的解析表达式
◆ 任意矢量可表示成基矢量的线性组合 A = Axex + Ayey + Azez 式中Ax、Ay、Az分别为矢量A沿各坐轴的 投影: ez Ax= ex·A Ay= ey·A A Az= ez·A ey •问题: 分量Ax与投 影Ax的区别是什么? ex
◆ 矢量代数运算的投影表达式 设 A = Axex + Ayey + Azez B = Bxex + Byey + Bzez • 基本运算 A±B =(Ax± Bx) ex +(Ay ± By) ey +(Az ± Bz) ez A·B = AxBx + AyBy + AzBz
2.
矢量的加减法
• 矢量相等：指两个 矢量的大小和方向 完全相同。记为 a=b • 矢量相加： c=a+b 遵从平行四边形 法则或三角形法则。
◆ 矢量相加的多边形法则 A2 A1
A1+ A2
AR =∑Ai
An AR =∑Ai
矢量相减归结为加法运算： c = a－b = a + (－b) • 矢量的加法满足交换律和结合律， 即 a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c
答
案
1.1 (6i－2j＋7k)／ 89 。1.2 24。 1.3 －4／3。 1.4 17／3。 1.5 26／2， cos－1 ( 91／14)。 1.6 25 3 。 1.7 ±(2j＋k)／ 5 。 1.8 3 ／2。 !.9 2。 1.10 (a) 20，(b) 20，(c) 8 i－19j－k， (d) 25 i－15j－10k. • 上述答案未经核算，仅供参考。
Bz B Bx By
4.矢量的标积与矢量在轴上的投影
• 矢量A与B的标积也称为A与B的点乘，定 义为 A·B = ︱A︱︱B︱cos (A,B) 显然，矢量的标积是一个代数量。
关于点乘的下列运算规律 可由直接计算导出
※ ※ ※ ※ ※ A·B = B·A A·(B + C) = A·B + A·C λ(A·B) =(λA)·B = A·(λB) 2 A = A2 A·A = A ⊥B A ·B = 0
式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的 矢径。
来自百度文库
MO(A) = r×A r Q
• 注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不 影响矩MO (A)的大小和方向，故上述定义对 滑动矢量同样是有效的。
P
6.
矢量的混合积
矢量A、B、C的混合积( A ×B ) · C 为标量，其绝对值等于以A、B、C为 棱边的平行六面体的体积。
1.6 若矢量A=2i－j＋k，B=i＋2j－3k，求 ︱(2A＋B)×(A－2B) ︳。 1.7 求与矢量A=3i－2j＋4k和B=i＋j－2k所在平面垂直的 单位矢量。 1.8 求三个顶点在A (2, －3,1)，B (1,－1,2)，C (－1,2,3) 的三角形的面积。 1.9 求点 (3,2,1) 到由点 (1, 1,0)， (3,－1,1)， (－1,0,2) 所 确定的平面的最短距离。 1.10 若A=2i＋j－3k，B=i－2j＋k，C=－i＋j－4k，求 (a) A·(B×C)，(b) C·(A×B)，(c) A×(B×C)， (d) (A×B) ×C。
• • • • •
A× A = 0 A×(B + C) = A×B + A×C λ(A×B) =(λA)×B = A×(λB) A×B = －B×A A与B 共线 ⇔ A×B = 0
A×B
B×A = － A×B
• 约束矢量对点的矩
• 作用于点 P 的定位矢量 A 对空间任意固定 点O之矩定义为
MO (A) = r×A
矢量的数乘
• 实数λ与矢量a的乘积仍为矢量 b = λa 其中 ︱b︱=︱λ︱︱a︱ λ>0 λ<0 b与a同向 b与a方向相反
矢量的数乘满足分配律 λ(a ± b) =λa±λb • 任意矢量可表示为其模与同方向单位矢 量的乘积： A = A (A / A) = AeA 式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .
3.
矢量的分解
• 平面矢量的分解 设 A 1 和 A2 是 平 面 内 任 意 两 个 线 性 无 关 （不共线）的矢量，则平面上任意矢量 可表示为： B =λ1 A1 +λ2 A2 By B 正交分解 B = Bx + By 式中 Bx⊥By
O Bx
• 空间矢量的分解 设A1、A2、A3 彼此线性无关（三矢量不 共面，且其中任意两个矢量均不共线）， 则任意矢量B可表示为 B =λ1 A1 +λ2 A2 +λ3 A3 •正交分解 B = B x + B y + Bz 式中Bx、By、Bz 相互正交。
eA A B
θ
cos θ = eA·eB
eB
合矢量投影定理
设AR =∑Ai ,用轴N上的单位矢量en 点乘 上式两边得 en·AR = en·∑Ai = ∑en·Ai 因此 ARn =∑Ain 上式表明，合矢量在某轴上的投影等于 各分矢量在同一轴上的投影的代数合。 这一结论称为合矢量投影定理。
5.
矢量的矢积(叉乘)
• 矢量A与B的矢积为一矢量，记作 C = A× B 其定义为 • 大小 ︱C︱=︱A︱︱B︱sin (A,B) • 方向 C⊥ A与B所决定的平面 • 指向 由右手螺旋决定，换句话说 A、B、C组成右手系
C = A× B
矢积的几何意义
A |A| sin θ θ |B| B
• 关于叉乘的运算规律
理论力学
矢量代数基础
1.
矢量的概念
• 标量：量度单位确定之后，仅用数的大 小就可以完全表示的量称为标量。 • 矢量：具有大小和方向，并遵从一定运 算规则的量称为矢量。 • 矢量用粗斜体字母a表示，在图中表示为 一有向线段。矢量的大小称为它的模， 表示为︱a︱，或 a。
• 若一矢量的模等 于零，则称这个 矢量为零矢量， 表示为0。在此 情况下，无所谓 它的方向。 • 模等于1的矢量 称为单位矢量。
矢量在图中的表示
F2
a
O F1 VA r A F3
自由矢量与约束矢量
• 上述定义的矢量有时也称为自由矢量， 物理学中应用的某些矢量有时还具有一 些附加的特征，有的教材称这类矢量为 约束矢量，包括定位矢量和滑动矢量。 • 定位矢量：矢量的作用点为一确定位置。 • 滑动矢量：矢量的作用点可以沿矢量的 作用线自由滑动。