二次分式函数值域的求法
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最值定理求出函数的值域。 ０１ 域。
５
．・．ｏ＜瓦暑而≤｛，
・’・ｏ＜百蒜≤专，
求函数，，＝掣（一１≤茗≤１）的值
即ｏ＜，，≤百１，所以函数值域为（ｏ，专］。
方法三（化二次函数法） 对函数进行变量分 离，转化为二次函数定轴定区间问题。
解：ｙ＝［（２一菇）＋去］一ｌ，
令ｔ＝２一茗，－ｏＯ一１≤聋≤１，．・．１≤ｔ≤３，
・．。Ｙ＝人ｔ）在［３，４］上为增函数，
性质，由茗的范围逐步求出，，的范围。
管一 ，ｆ １
例２求函数），２≯赢４－４－的值域。
解：Ｙ２万去ｉ２百焉砀
・．‘（髫＋１）２＋４≥４。
．・．），血＝以３）＝号，ｙ一＝“４）＝５。 所以函数值域为［号，５］。
方法五（利用最值定理法）对函数进行变量分
离，化为勾形函数ｙ＝似＋÷（口＞ｏ，ｂ＞ｏ），再利用
例３求函数ｙ＝≯ｘｚ了＋而６ｘ－４４－／１４．（茗≥１）的值域。
ｆ。．■４公
则，，：以１）：¨４。一１（１≤ｆ≤３），
解：ｙ＝万ｘ２＋忑６ｘｉ－４
一【查±２２１±至ｆ苎±２２＝１２
（善＋２）２
．・．ｙ≥√ｔ・÷一ｌ＝３，
当且仅当ｔ：｛，ｌ＝２，即互＝０时，，，血＝３。 又以１）：４。以３）：等’．．．，，一：４。
本文链接：Байду номын сангаасPeriodical_styyj-kc201003041.aspx
Ｉ
ＳＨＩＴＩＹＵＹＡＮＪ Ｉ Ｕ
考试指导 ４５
函数是高中数学教学中最核心的内容，求函数 的值域又是函数教学中的核心内容不同类型的函数 求值域的方法也是不同的，本文专就二次分式函数 值域的求法作一些探讨，供参考。 方法一（判别式法）将二次分式函数转化为一 元二次方程的形式，利用根的判别式求函数的值域。
所以函数值域为［３，４］。 （作者单位：江苏省东台市富安镇中学）
＝吨（南）２伫南＋ｌ（茹≥１）ｏ 令ｔ＝壶，
・．・髫≥ｌ’．．．０＜ｔ≤｛，
万方数据
二次分式函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 孙继云 江苏省东台市富安镇中学 试题与研究(新课程论坛) SHITI YU YANJIU 2010(3)
则ｙ＝一１２ｔ２＋２ｔ＋ｌ（０＜ｔ≤了１），
解之，得），∈‘了１，琶］。
方法四（利用函数单调性法）对函数进行变量
分离，化为，，：似一÷（口＞ｏ，６＞ｏ）型，再利用函数
单调性求出函数的值域。 例４ 域。
例１求函数），＝１—｝一的值域。
茗一一二并一ｊ
解：将原函数式变形为弘２—２弘一３ｙ一５＝０。 ・．’，，≠０，膏∈Ｒ，．・．△＝（一２ｙ）２—４ｙ（一３ｙ一５）
≥０，
求函数，，＝堑警（ｏ≤戈≤１）的值
３≤ｔ≤４，
解：，，＝２（髫＋３）一雨８一ｌ（Ｏ≤菇≤１）。
解之，得，，≤一寺或Ｙ＞０。 所以函数值域为（一∞，一｛］Ｕ（ｏ，＋∞ｏ
方法－－（不等式性质法） 综合利用不等式基本 令ｔ＝茗＋３，‘．‘Ｏ≤菇≤１，ｏ・ｏ
则，，：八ｆ）：２ｔ一寻一ｌ（３≤ｔ≤４）。
５
．・．ｏ＜瓦暑而≤｛，
・’・ｏ＜百蒜≤专，
求函数，，＝掣（一１≤茗≤１）的值
即ｏ＜，，≤百１，所以函数值域为（ｏ，专］。
方法三（化二次函数法） 对函数进行变量分 离，转化为二次函数定轴定区间问题。
解：ｙ＝［（２一菇）＋去］一ｌ，
令ｔ＝２一茗，－ｏＯ一１≤聋≤１，．・．１≤ｔ≤３，
・．。Ｙ＝人ｔ）在［３，４］上为增函数，
性质，由茗的范围逐步求出，，的范围。
管一 ，ｆ １
例２求函数），２≯赢４－４－的值域。
解：Ｙ２万去ｉ２百焉砀
・．‘（髫＋１）２＋４≥４。
．・．），血＝以３）＝号，ｙ一＝“４）＝５。 所以函数值域为［号，５］。
方法五（利用最值定理法）对函数进行变量分
离，化为勾形函数ｙ＝似＋÷（口＞ｏ，ｂ＞ｏ），再利用
例３求函数ｙ＝≯ｘｚ了＋而６ｘ－４４－／１４．（茗≥１）的值域。
ｆ。．■４公
则，，：以１）：¨４。一１（１≤ｆ≤３），
解：ｙ＝万ｘ２＋忑６ｘｉ－４
一【查±２２１±至ｆ苎±２２＝１２
（善＋２）２
．・．ｙ≥√ｔ・÷一ｌ＝３，
当且仅当ｔ：｛，ｌ＝２，即互＝０时，，，血＝３。 又以１）：４。以３）：等’．．．，，一：４。
本文链接：Байду номын сангаасPeriodical_styyj-kc201003041.aspx
Ｉ
ＳＨＩＴＩＹＵＹＡＮＪ Ｉ Ｕ
考试指导 ４５
函数是高中数学教学中最核心的内容，求函数 的值域又是函数教学中的核心内容不同类型的函数 求值域的方法也是不同的，本文专就二次分式函数 值域的求法作一些探讨，供参考。 方法一（判别式法）将二次分式函数转化为一 元二次方程的形式，利用根的判别式求函数的值域。
所以函数值域为［３，４］。 （作者单位：江苏省东台市富安镇中学）
＝吨（南）２伫南＋ｌ（茹≥１）ｏ 令ｔ＝壶，
・．・髫≥ｌ’．．．０＜ｔ≤｛，
万方数据
二次分式函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 孙继云 江苏省东台市富安镇中学 试题与研究(新课程论坛) SHITI YU YANJIU 2010(3)
则ｙ＝一１２ｔ２＋２ｔ＋ｌ（０＜ｔ≤了１），
解之，得），∈‘了１，琶］。
方法四（利用函数单调性法）对函数进行变量
分离，化为，，：似一÷（口＞ｏ，６＞ｏ）型，再利用函数
单调性求出函数的值域。 例４ 域。
例１求函数），＝１—｝一的值域。
茗一一二并一ｊ
解：将原函数式变形为弘２—２弘一３ｙ一５＝０。 ・．’，，≠０，膏∈Ｒ，．・．△＝（一２ｙ）２—４ｙ（一３ｙ一５）
≥０，
求函数，，＝堑警（ｏ≤戈≤１）的值
３≤ｔ≤４，
解：，，＝２（髫＋３）一雨８一ｌ（Ｏ≤菇≤１）。
解之，得，，≤一寺或Ｙ＞０。 所以函数值域为（一∞，一｛］Ｕ（ｏ，＋∞ｏ
方法－－（不等式性质法） 综合利用不等式基本 令ｔ＝茗＋３，‘．‘Ｏ≤菇≤１，ｏ・ｏ
则，，：八ｆ）：２ｔ一寻一ｌ（３≤ｔ≤４）。