人教A版数学选修2-1同步导练作业：第2章 圆锥曲线与方程 作业11

课时作业11 椭圆的简单几何性质(一)

基础巩固

1．(2017年高考·浙江卷)椭圆x 29＋y 2

4＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D .59

解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝5

3，故选B. 答案：B

2．椭圆x 2＋8y 2＝1的短轴的端点坐标是( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫0，－24、⎝ ⎛⎭⎪⎫0，24

B ．(－1,0)、(1,0)

C ．(22，0)、(－22，0)

D ．(0,22)、(0，－22) 解析：∵x 21＋y 2

18＝1，∴a ＝1，b ＝

18＝24.

答案：A

3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2

b 2＝k (k >0)具有( ) A ．相同的离心率

B ．相同的焦点

C ．相同的顶点

D ．相同的长、短轴

解析：①c 2＝a 2－b 2，离心率c

a ＝a 2－

b 2a ，

②x2

ka2＋

y2

kb2＝1，∴c

2＝k(a2－b2)，

离心率＝k·a2－b2

ka

＝

a2－b2

a.

答案：A

4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()

A.x2

81＋y2

72＝1 B.

x2

81＋

y2

9＝1

C.x2

81＋y2

45＝1 D.

x2

81＋

y2

36＝1

解析：2a＝18，∴a＝9,2c＝18

3＝6，

∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.

答案：A

5．若椭圆的长轴长为200，短轴长为160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是__________．

解析：2a＝200，∴a＝100，由2b＝160，∴b＝80，c＝60，由近日点、远日点知识，知最远a＋c，最近a－c.

答案：[40,160]

6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

3 2，

且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

解析：设椭圆G的方程为x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)，依题意2a＝12，e

＝c

a＝

3

2，而a

2＝b2＋c2，

解得a＝6，c＝33，b2＝9，

故所求椭圆G 的方程为x 236＋y 2

9＝1. 答案：x 236＋y 2

9＝1

7．(2016年高考·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2

3＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．

求椭圆的方程；

解：设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，即1c ＋1a ＝3c

a (a －c )，可得a 2

－c 2＝3c 2，

又a 2

－c 2

＝b 2

＝3，所以c 2

＝1，因此a 2

＝4，所以椭圆的方程为x 2

4

＋y 2

3＝1.

能力提升

1．已知焦点在x 轴上的椭圆，长轴长为4，右焦点到右顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为( )

A.x 24＋y 2＝1

B.x 24＋y 2

3＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 23＋y 2

4＝1

解析：由题意得：a ＝2，a －c ＝1，∴c ＝1， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3， ∵椭圆的焦点在x 轴上，

∴椭圆的标准方程是x 24＋y 2

3＝1.故选B. 答案：B

2．离心率为2

3，长轴长为6的椭圆的标准方程是( ) A.x 29＋y 2

5＝1

B.x 29＋y 25＝1或x 25＋y 2

9＝1 C.x 236＋y 2

20＝1

D.x 236＋y 220＝1或x 220＋y 2

36＝1

解析：由2a ＝6，得a ＝3，由e ＝c a ＝2

3，知c ＝2 又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5

故x 29＋y 25＝1或x 25＋y 2

9＝1为所求，故选B. 答案：B

3．焦距为4，离心率是方程2x 2－5x ＋2＝0的一个根，且焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为( )

A.x 28＋y 29＝1

B.x 216＋y 2

12＝1 C.x 24＋y 23＝1 D .x 210＋y 2

6＝1 解析：依题意：e ＝1

2

∴⎩⎨⎧

2c ＝4c a ＝12

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

c ＝2a ＝4

⇒b 2＝12， 所以，所求椭圆方程为x 216＋y 2

12＝1. 答案：B

4．若点(3,2)是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上的一点，则下列说法错误的是( )

A ．点(－3,2)在该椭圆上

B ．点(3，－2)在该椭圆上

C ．点(－3，－2)在该椭圆上

D ．点(－3，－2)不在该椭圆上

解析：∵椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)是轴对称图形(不仅关于x 轴对称而且关于y 轴对称)，也是中心对称图形，对称中心为(0,0)；

∴点(3,2)关于x 轴的对称点(3，－2)也在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上，故B 对；

点(3,2)关于y 轴的对称点(－3,2)也在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上，故A 对；

点(3,2)关于(0,0)的对称点(－3，－2)也在椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上，故C 对，D 错．

答案：D

5．椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A (3,0)，则椭圆的标准方程是( )

A.x 29－y 2

81＝1 B.x 29＋y 2

81＝1 C.x 29＋y 2

＝1