专题04 直线与抛物线相结合问题(第五篇)(解析版)

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第五篇 解析几何

专题04 直线与抛物线相结合问题

【典例1】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且||8AB =. （1）求抛物线C 的方程；

（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于(1,2)R 的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于,M N 两点，求||MN 取最小值时直线DE 的方程. 【思路引导】

（1）直曲联立表示出抛物线弦长AB ，得到关于p 的方程，求出p ，得到抛物线的方程.

（2）直线DE 与抛物线联立，得到1

2y y +、12y y ，再根据题意，得到M 点和N 点的坐标，用1y 和2y 表

示出MN ，代入12y y +、12y y 的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线DE 的方程. 【详解】 （

1）,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，直线AB 的方程为2p x y =+，

由2

2y px =，2

p

x y =+

联立， 得22

20y py p --=，(1y p =+，

AB =

48p =

==，

∴2p =，

∴抛物线的方程为：24y x =.

（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，直线DE 的方程为：()()110x m y m =-+≠，

联立方程组()24,11,

y x x m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消元得：()2

4410y my m -+-=，

∴124y y m +=，()1241y y m =-. ∴

21y y -=

=

设直线DR 的方程为()112y k x =-+，

联立方程组()112,

22,y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩

解得112M k x k =-，

又1112111224

1214y y k y x y --===

-+-，∴1114

224

22

M y x y y +==--+. 同理得2

2

N x y =-

.

∴12M N MN x y =-=

==. 令1m t -=，0t ≠，则1m t =+.

∴MN ==

=≥. ∴当2t =-即1m =-时，MN 取得最小值.

此时直线DE 的方程为()11x y =--+，即20x y +-=.

【典例2】【东北三省三校2019届高三第三次模拟】抛物线2

4x y =的焦点为F ，准线为l ，若A 为抛物线上第一象限的一动点，过F 作AF 的垂线交准线l 于点B ，交抛物线于,M N 两点.

（Ⅰ）求证：直线AB 与抛物线相切；

（Ⅰ）若点A 满足AM AN ⊥，求此时点A 的坐标. 【思路引导】

（Ⅰ）设()()0000,,0,0A x y x y >>，由此可得直线AF 的斜率，进而得到直线BF 的斜率，由此得到BF 的方程为0

11x y x y =

+-，令1y =-可得点B 的坐标，于是可得直线AB 的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A 处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅰ）由（Ⅰ）知()00,A x y ，直线MN 的方程为0

11x y x y =

+-，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及AM AN ⊥可求得点A 的坐标． 【详解】

（Ⅰ）由题意得焦点()0,1F ．设()()0000,,0,0A x y x y >>，

∴直线AF 的斜率为00

1

y x -，

由已知直线BF 斜率存在，且直线BF 的方程为0

11x y x y =

+-， 令1y =-，得()

00

21y x x -=

， ∴点B 的坐标为00

2(1)

(

,1)y x --， ∴直线AB 的斜率为()()2000002002

000000(1)11421212214x x y y x y y x x x x x x +++===--⎛⎫---- ⎪

⎝⎭

．

由24

x y =得2x y '

=，

∴00

|2x x x y ='=

，即抛物线在点A 处的切线的斜率为02

x ， ∴直线AB 与抛物线相切．

（Ⅰ）由（Ⅰ）知()00,A x y ，直线MN 的方程为0

11x y x y =

+-， 由20

041

1x y

x y x y ⎧=⎪⎨=+⎪-⎩

消去y 整理得2

00

4401x x x y --=-， 设()()1122,,,M x y N x y ， 则0

12120

4,41x x x x x y +=

=--． 由题意得直线AM 的斜率为2

20110101010444x x y y x x x x x x -

-+=

=-- ， 直线AN 的斜率为2

20220202020444

x x y y x x x x x x -

-+=

=--， ∵AM AN ⊥ ， ∴1020

144

x x x x ++⋅=-， ∴

()()()2102012012016x x x x x x x x x x ++=+++=-，

∴20

000

44161x x x y -+⋅+=-- ， 整理得2

0230y y --=，

解得03y =或01y =-． ∵00y > ，