数学积分变换法

1 a
F
p a
,
a 0.
6） 卷积性质 定义
f
g
x
x
0
f
x
t
g
t dt
则 L f g L f Lg
例 设 y yt 求解常微分方程的初值问题:
y''2 y'3y et y |t0 0, y'|t0 1 解 对 t 进行拉普拉斯变换, 设 yt Fp, 则
et 1 p 1
y' pFp y0 pF( p)
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
则
U ,t F
1
x2
e 4t F[ ]F
1
x2 e 4t
2 t
2 t
u x,t F 1 U(,t)
F 1 F ( )F
1
x2 e 4t
)e1 4(t )
x2
de4( t
)
d
2 0 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的 有效方法,但
1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积.,大 部分函数不能作傅立叶变换
.
而 u x,0 x 0
解： 则
作关于 x
F
ux,t
的U 2傅1,立tt叶e变x42t u换x。,et设e2t i
x
dx
U f x,t,tF F,t
1
xe
x2 4t
方程变为
2 t
0dt FU(dt,,
U , t
t
)F4(
x2
t ),t
f t 1
F
p e(si )t d
1
si
F
p e ptdp
2
2 i si
其中， p s i, s s0.
基本性质:
1） 线性性质 设 f, g 的拉普拉斯变换分别为L( f ),
L(g ),
是任, 意复常数，则
L f g L( f ) L(g)
2） 微分性质 假设 L : f t Fp, 则
d
.
u x,t F 1 U(,t)
F 1 F
1
x2 e 4t
2 t
t
F (, )F
1
x2
e 4(t ) d
0
2 (t )
F
1
1 F
*
1 ( xx2)2
e e 44t t d
2 t 2 t
F1
1F
t
df( x,
)f *(
,
( x )2
2 t
从而方程的解
F 1 F *
1
x2 e 4t
2 t
*
1
x2
e 4t
2 t
u( x,t)
1
s2
x s e 4t ds
2 t
例用用常积数分变变易换法法可解解方得程：
U
,
t
ut
2u
x2
ef2(t x,t) t
Fx(,R,)te02 (t
)
d
2
反演公式
傅立叶变换的性质:
1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数， , 是任意
复常数，则
F f g F( f ) F(g)
2） 微分性质 设 f , f ' 绝对可积函数，则
F f ' iF f
3）乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则
F xf i d F f
e 反例
et
定理: 设f (t)是一以 s0 0 为增长指数的初始函数,
则经变换
L:
f
t
F
p
0
f
t
e ptdt
得到的函数F(p)是 (Re p s0 ) 上的解析函数.
上述变换称为拉普拉斯变换
例
tn
n! p n1
(Re p 0) n 0,1, 2,
tne ptdt 1 t nde pt 1 tne pt 1 e ptdtn
积分变换法
常见的两种积分变换 ---傅立叶变换 ---拉普拉斯变换.
一. 傅立叶变换
如果函数 f (x)在
(上,绝对) 可积，它的傅立叶变
换定义如下
F ei x f xdx
有时把 F 记为 F f 。
如果F 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆
变换为:
f x
1
F ei xd
0
p0
p
p0
0
n t e n1 ptdt
p0
n(n p2
1)
t e n2 ptdt
0
L
n! pn
e ptdt
0
n! p n1
eat 1 (Re p Re a) pa
cosat
p2
p a2
sinat a p2 a2
(Re p 0)
反演公式：在 f (t) 的每一个连续点均有
d
4）伸缩性质 设 f (x) 绝对可积，则
F ( f (ax))( ) 1 F ( f )( ), a 0.
|a|
a
5）平移性质 设 f (x) 绝对可积，则
F( f ( x y)) eiyF ( f ), y R.
6） 卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令
f g x f x t g t dt
则 F f g F f Fg
例 用积分变换法解方程：
u 2u
t
x2 ,
x R, t 0
u x,0 x
解：作关于 x 的傅立叶变换, 设
u x,t U , t u x,t ei xdx
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
L : f 't pFp f 0
L : f ''t p2 Fp pf 0 f '0 L : f nt pn Fp pn1 f 0 pn1 f '0 f n1 0
3）积分性质
L
t 0
f
s ds
1 p
F
p
4）延迟性质 L f t s e ps F p
5）伸缩性质
L
f
at
y'' p2 F p py0 y'0 p2Fp 1
于是原方程变为
p2F( p) 1 2 pFp 3Fp 1
p 1
由上式得:
Fp 3 1 1 1 1 1
8 p 1 4 p 1 8 p 3
对 F p进行拉普拉斯逆变换, 得
y t 3 et 1 et 1 e3t
2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研 究混合问题时失效.
二. 拉普拉斯变换
定义: f (t)定义在 [0,)上，若其满足下列条件
1. f (t)分段光滑；
2. 当t<0时, f (t)<0;
3. 存在常数 M 和 s0 使0 得 | f (t) | M es0t 则称f (t)为初始函数, s0 称为f (t)的增长指数.