高中数学必修一函数解题方法

函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法

一、求函数定义域的方法

(一) 直接法求定义域

关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值围。

一般需要关注的解题要点：

（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。( 6 )0x 中x 0≠

例1 求下列函数定义域

①21)(-=x x f ②x

x x f -++=211)( ③0)32(2

)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y

(二)解题时要关注定义域

函数的三要素是定义域，值域和对应关系。其中定义域是规定函数自变量取值围的关键，是题目限制条件的体现。由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。

例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22

x f x f +的最大值。 例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。

(三)有关抽象函数的定义域问题

抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如

x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值围是相同的。

例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。

例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。

例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2

x x f +的定义域。

二、求函数值域的方法

(一)层层分析法(直接法)

这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。在分析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x 的时候，要注意分离常数法的例7 求函数1

222--=x x

y 的值域。

例8 求函数12122-+-=x x x y )2

1(>x 的值域 例9 求函数6

3422-+++=x x x x y 的值域 例10 求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域 (二)换元法

常用来处理含根式的函数求值域。分以下几种情况：

1.出现单根式时用代数换元

例11 求函数3

2++=x x y 的值域 例12 求函数x x y 312-+=的值域

2.出现平方和为定值(常有双根式)时用三角换元

例13 求函数638++-=x x y 的值域

例14 求函数2)1(12+-++=x x y 的值域

3.出现指数或高次函数有时也用换元法

另例 求函数[])1,0(239∈+-=x y x

x 的值域 (三)几何意义法

利用函数的几何意义将函数转化成距离的和或差从而利用数形结合的方法处理函数的值域。常用来解决含绝对值函数，含根式的函数的值域问题。

1.出现绝对值时转化成数轴上两点的和与差

例15 求函数41++-=x x y 的值域

2.出现双根式时考虑两点间距离

例16 求函数106422+-++=

x x x y 的值域 例17 求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域

3.出现绝对值时也可以考虑转化为点到直线距离

例18 求函数7)2(4222+---=x x y 的值域

4.出现分式时可以考虑转化为斜率

例19 求函数x

x y cos 2sin 3--=

的值域

函数习题课(II)函数解析式的求法，分段函数

一、函数解析式的求法

(一)待定系数法

若题目中已经明确给出了函数的形式(如一次函数、二次函数、指数函数等)可以利用待定系数法现将函数解析式设出，再利用题目已经给出的关系进行带入化简，通过对比系数进行对于函数解析式的确定。

例1 已知一次函数)(x f ，且[]34)(+=x x f f ，求)(x f 解析式

(二)拼凑换元法

已知复合函数)]([x g f 的解析式时，通过在已知的解析式中拼凑出)(x g 或通过换元法对解析式进行处理后得到解析式。重要的是不能忽略拼凑或换元前后定义域的变化。

例2 已知x

x x

f -=

1)1(，求()x f 2cos 的解析式 例3 已知221)1(x x x x f +=+()0>x ，求)(x f 的解析式 (三)方程组法求解析式 同时出现x x

x -,1,

等有关的函数解析式时，常用列方程组的方法来求解析式。 例4 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，试求)(x f ，)(x g 的解析式

(四)抽象函数求解析式

解决抽象函数问题的一种最常用的方法就是赋值法。当抽象函数相关的题目中先给出了某一函数值，后续的解题过程中必然会用到赋值法，从而简便运算。

例5 已知1)0(=f ，对于任意实数y x ,，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

例 6 设)(x f 是定义在*

N 上的函数，且满足1)1(=f 。对任意自然数b a ,都有等式ab b a f b f a f -+=+)()()(成立，求)(x f

二、分段函数问题

在给出了分段函数解析式的问题中，主要有三类问题：一是求函数值，特别是求复合函数的值，其方法是当自变量在不同的区间段上时，带入不同的解析式；二是研究这个分段函数的单调性，方法是根据函数在各个区间段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性；三是求最值，其方法是求出函数在各个区间段上的最值，这些最值中最大的是分段函数的最大值，最小的是分段函数的最小值。分段函数的易错点在于各定义域分界点处函数值的大小。此外，分段函数常用数形结合法分析。

例7 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=0

,30,34)(2x x x x x x f ，求方程01)(=+x f 的实根个数