旋转曲面面积

实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：
step1:选取积分变量及积分 区间（如x属于[a,b]）
step2:取微区间[x,x+dx]
微 元 法
求出 Af(x)dx(局部 ) 量 并记 dAf(x)dx称为面积元素
step3: 计算 A b f(x)dx a
这种方法称为定积分的元素法或微元法。
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS2f(x) 1f'2xdx
旋转曲面的面积为
S2a bfx 1f'2xdx
若曲线由参数方程
x y
xt y t
,
t
,
定义，且
y
t
0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S2 yt x'2ty'2tdt
若曲线由极坐标方程 r r( ) 定义，则旋转曲
面的面积
S 2 rs in r2 r '2d
这是因为这时可看成参数方程
x r( ) cos
y
r( ) sin
，
x( )2 y( )2 r( )2 r( )2 。
例 1 、 求 半 径 为 R 的 球 面 面 积 。
解 ： 球 面 可 看 作 由 半 圆 y R2x2 (RxR)绕 x轴 旋 转 而 成 ， 于 是
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。
微 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间
元 法
n
[xi 1,xi](i1~n )则 ,A A i
i1
step2. 近似：i [xi 1,xi],
计 算 i f(i) x i
(i1~n)
n
step3. 求和： A f(i)xi i1
3
a
2
.
0
8
20 设弧长为L. 由对称性,有
L42 (x)2(y)2dt4 23acotssintdt6a.
并d记 Q f(x)dx
step3. 计算 A bf(x)dx a
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上求Ｕ的步骤
分 用分点 a x 0 x 1 x n 1 x n b 将
割
区间分成 n 个小区间 [ x i 1 ,x i ]x , i x i x i 1
以 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui
上的局部量 U 的近似值
dU f(x)dx 这就是局部量的微元
2 求积分
即把微元 dU 在区间 [ a , b ] 上
“无限积累”起来 ，相当于把 f(x)dx
作积分表达式，求它在 [ a , b ] 上的定积分，即
b
U f ( x)dx
这就是微元法
a
例 设 曲 线 C : y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上 有 连 续 导 数 , 求 弧 长
直 线
用某个函数 f ( x) 在 i(i [x i 1 ,x i])
代 曲
的值与 xi 之积代替 U if(i)x i
把局部量的近似值累加得到总量的近似值, 即
求
n
n
和
UU i f(i)xi
i1
i1
求
T maxxi
1in
极
n
b
限
Ulim T0i1
f(i)xi
a
f(x)dx
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b] 上满足两个条件：
解:（图一） 1 。 取 积 分 变 量 x [a,b]
2。取微区间[x,x+x],则SMi-1Mi
y
x2y2 1（y） 2x x
M M i1
i
M n1 B Mn
记ds 1y2dx
弧长微元
M2 M1
3。S= a 1y2dx b
o
A M0
a
x
xVx b x
一般地，如果旋转曲面是由平面光滑曲线
二 段 y f ( x) ， x a,b ( f x 0) 绕 x轴旋
旋 转
转一周而成的，旋转曲面的面积为多少？
取积分变量为x， x[a,b] y yf(x)
曲 在[a,b]上任取小区
面 间[x,xdx]，
o
x xdx
x
的
面 通过 x轴上的点 x与 dx 分别作垂直于 x轴的平
积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
10.4 旋转曲面的面积
一 定积分的元素法(或微元法)
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:
1。Q是与某一变量x的变化区间[a,b]有关的量；
2。Q对于[a,b]区间具有可加性；
微
元
3。局部量 Q i f(i) x i.
法
那么，将Q用积分来表达的步骤如下:
step1. 选取积分变量及积分区间 如 :x [a ,b ]
step2. 取微区间[x,x+dx]，求出 Qf(x)dx
A2R R
R2x21R2x 2x2dx
4 R2
例2、求摆线
x a(t sint) y a(1cost)
(0t 2)
绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积。
解 A 22 a (1 c o st)x'2 y'2 d t 0
222a2(1cost)|sint|dt
0
2
64 a2
3
例3 已知
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就
等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用 f(i)xi 近似表示
它们之间只相差一个 x i 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
பைடு நூலகம்
这是建立所求量的积分式的基本方法
1 求微元
写出典型小区间 [ x ,x d ] x [ a ,b ]
y
星形线
x a cos 3 t
y
a
sin
3
t
(a 0)
a
o
ax
求 1 0 它所围成的面积 ;
2 0 它的弧长 ;
3 0 它绕轴旋转而成的旋转
体
体积及表面积 .
解 10 设面积为A. 由对称性,有
a
A4 ydx 0
4 0asi3tn 3aco 2t(ssit)n dt
2
122a2[s4 itnsi6n t]dt
step4. 取极限：
n
A lim T 0 i1
f (i)xi
即A b f(x)dx a
微 元
分析：在上述问题注意到: 所求量(即面积)A满足：
法 1。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关;
2。对[a,b]具有可加性，即A n Ai; i1
3。局 部 A if(量 i) A i,且误 o ( x i)差为