人口统计模型【数学建模】

人口统计模型

人口统计模型（1）：

某城市1990年的人口密度近似为2

4

()20

P r r =

+。 ()P r 表示距市中心 r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人.试求距市中心2km 区域内的人口数；

人口统计模型（2）：

若人口密度近似为-0.2() 1.2e r P r =（单位不变），试求距市中心2km 区域内的人口数。

设()P t 表示t 时刻某城市的人口数.假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：

（1） t 时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；

（2） 在一段时期内，比如说从1T 到2T ，由于死亡或迁移，

1T 时刻的人口数1()P T 的一部分在2T 时刻仍然存在， 我们用211()()h T T P T -来表示，210()1h T T <-<，

21T T -是这段时间的长度.试建立在任意时刻t 人口规模的模型.如果45()51010r t t =⨯+，/40()t h t e -=，2000年时该城市的人口数为710，试预测

2010年时该城市的人口数.

根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解. 第一步： （I ）

假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成 n 个小区间，每个小区间的长度为r ∆.每个小区间确定了一个环，如下图所示.

让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数.第j

个环的面积为：

2221πππ()j j j r r r r --=-∆

222

ππ2()j j j r r r r r ⎡⎤=--∆+∆⎣⎦

22ππΔj r r (r)=∆-

在第 j 个环内，人口密度可看成数()j P r ，所以此环内的人口数近似为：

()2πj j P r r r ⋅∆

第二步：

距市中心2km 区域内的人口数近似为：

1

()2πn

j

j

j P r r r =⋅∆∑

所以人口数:

2

()2πd N P r r r =⎰

第三步

（1） 当 24

()20

P r r =

+ 时， 222200422πd 4d 2020

r N r r πr r r r =⋅=++⎰⎰ 22

0244πln(20)|4πln 2.29120

r =+=≈

距市中心2km 区域内的人口数大约为229 100.

市中心

1

j r -j

r

2n

r =r

∆0

0r =

（2） 当 -0.2() 1.2e r P r = 时，

2

2

0.20.20

2π 1.2d 2.4d r r N e r r πre r --=⨯⋅=⎰⎰

2

0.20.22

e e 2.4π

2.4πd 0.2

0.2

r r

r r --=---⎰

2

0.20.4

e 24πe 12π0.2r --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭

0.40.424πe (60πe 60π)11.602--=-+-+≈

距市中心2km 区域内的人口数大约为1 160 200. 第四步：

（II ） 数学建模：我们把[0,]T 的时间区间分成n 等分，每个小区间的长度为t ∆.初始时刻的人数为(0)P ，到时刻T 将只剩下()(0)h T P .当t ∆很小时，从时刻1j t -到

j t ，净增人口的比率近似为常数()j r t .这段时期净增的人口数近似为()j r t t ∆.时刻

1j t -到j t 内净增加的人口到时刻T 只剩下()()j j h T t r t t -∆.所以在T 时刻的总人口数

近似为：

1122()(0)()()()()h T P h T t r t t h T t r t t +-∆+-∆+

1

()(0)()().n

i i i h T P h T t r t t =≈+-∆∑

当n 无限增大时，0

()()(0)()()T

P T h T P h T t r t dt =+-⎰ （1）

第五步：

将45/40()51010,()e t r t t h t -=⨯+=及10T =，7(0)10P =代入（1）式得

10

(10)(10)(0)(10)()d P h P h t r t t =+-⎰

10

71/4(10)/40450

10e e (51010)d t t t ---=+⨯+⎰

1010

71/41/44/405/400010e e 510e d 10e d t t t t t ---⎡⎤=+⨯+⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

1071/461/4/400

10e 210e e t ---=+⨯ 101061/4/40

71/4/40

410e e 1610e e t t t ----+⨯-⨯

61/471/47210(1e )10(17e 12) 1.2810--=⨯-+⨯-≈⨯

1990年时该城市大约有人口1 280万.

人口统计模型（I ）中两个人口密度2

4

()20

P r r =

+和-0.2() 1.2e r P r =有一个共同特点'()0P r <，即随着r 的增大，()P r 减少，这是符合实际的.另外，需要指出的是，当人口密度()P r 选取不同的模式时，估算出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人口密度模式对于准确地估算人口数至关重要.