第十二章无穷级数复习(一)

n1
A、 1n un
B、 un2
C、 un un1
n1
n1
n1
Fra Baidu bibliotek
D、 1n un 收敛 n1
D、 un n 1
例题 9 下列级数中发散的是 A 。
A、 1n n1 n n
B、
sin n n2
n1
C、
n1
2 1 2n
n
D、 1000n n1 n!
。
A 。
A、 2 16
B、 2 12
C、 2 8
D、 2 4
例题3 下列级数中， B 是发散的。
A、
n1
2n
1
12n
1
C 、 enx ，其中 x 0
n1
B、
1
n sin
n 1
n
D、
n1
n 2n
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
un ，其中 un 0，n 1,2,
n1
n1
我们用比值审敛法或根值审敛法根据lim un1 n un
1或 lim n n
un
1判定
un 发散，那么我们可以断 定 un 必定发散。
n1
n1
注3：掌握等比级数、 p 级数、调和级数、交错 调和级数的收敛性结果 。
注 4：掌握极限 lim n n! 1。 n n / e
例题4
第十二章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
无穷级数 un u1 u2 un n1
思路：u1，u1 u2 ， ，u1 u2 un ，
常数项级数 函数项级数
部分和数列 sn: s1，s2 ， ，sn ，
定义
若
lim
n
sn
s，则称
un 收敛，否则称
n1
un 发散。
现有级数
n1
10n n!
1与级数
n1
3n n! nn
2，则其敛散性的判定结果是
A
。
A、 1收敛，2发散
B、 1发散，2收敛
C、 1、2都收敛
D、 1、2都发散
例题 5 下列级数中发散的是 D 。
A、
n
n
n1 2n 1
B、
1
n1 lnn 1n
C、 n 2n1
n1 3n 1
D、 2n2
n1
注1：sn 的计算：等比数列求和 公式、对数的性质、裂 项、错位相减法等。
二、收敛级数的基本性质
性质1 若 un 收敛，则 kun 收敛。
n1
n1
性质2 若 un 、 vn收敛，则 un vn 收敛。
n1
n1
n1
性质3 在级数中去掉、加上或 改变有限项，不会改变 级
数的收敛性。
性质4 若 un 收敛，那么对这级数的 项任意加括号后所 n1
n1
充要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法
二、交错级数及其审敛法
1 n1un 或 1n un，其中 un 0，n 1,2,
n1
n1
莱布尼兹定理
三、绝对收敛与条件收敛
如果级数 un 绝对收敛，那么级数 un 必定收敛。
n1
n1
注 2：一般说来，如果 un 发散，我们不能断定 un 也发散。但是，如果
n1 n!
例题 6 当级数 un 收敛时，级数 1n un D 。
n1
n1
A、 必绝对收敛
B、 必发散
C、 部分和序列有界
D、 可能收敛也可能发散
例题 7 若级数 un 收敛，则 A 。 n1
A、 un un1 收敛 B、 u2n 收敛
n1
n1
C 、 unun1 收敛 n1
例题 8 若 un 收敛，则下列级数中 C 必收敛。
成的级数仍收敛。
性质5
若
un 收敛，则
n1
lim
n
un
0。
例题1 设级数 an 收敛，其和为 s，则级数 an an1 an2 收敛于
n1
n1
A、 S a2
B、 S a1
C、 S a2 a1
C、 S a1 a2
例题2
已知级数
n1
1 n2
2
6
收敛，则级数
n1
1
2n 12
C