微分方程的积分因子求解法

常微分方程得积分因子求解法

内容摘要:本文给出了几类特殊形式得积分因子得求解方法,并推广到较一般得形式。

关键词:全微分方程,积分因子。

一、基本知识

定义1.1 对于形如

(1。1) 得微分方程,如果方程得左端恰就是,得一个可微函数得全微分,即= ,则称(1、1)为全微分方程、

易知,上述全微分方程得通解为=, (为任意常数)。

定理１。1 (全微分方程得判别法)设,在,平面上得单连通区域内具有连续得一阶偏导数,则(１.１)就是全微分方程得充要条件为

(１、2) 证明见参考文献［１］.

定义1。2 对于微分方程(1.1),如果存在可微函数,使得方程

(１。3) 就是全微分方程,则称为微分方程(1。1)得积分因子、

定理1。２可微函数为微分方程(1、1)得积分因子得充要条件为

-= (1、4) 证明:由定理１、1得,为微分方程(１。１)得积分因子得充要条件为

, 展开即得:

—=、

上式整理即得(1。4). 证毕

注1、１若,则(１、3)与(１.１)同解。所以,欲求(1。1)得通解,只须求出(1。3)得通解即可,而(１。3)就是全微分方程,故关键在于求积分因子。

为了求解积分因子,必须求解方程(1。4)。一般来说,偏微分方程(1。4)就是不易求解得;但就是,当具有某种特殊形式时还就是较易求解得。

二、特殊形式得积分因子得求法

情况1 当具有形式时,方程(1。４)化为

=,

即＝

于就是得到:

定理２、1 微分方程(1.１)具有形如得积分因子得充要条件为

只就是得连续函数, 不含、此时易得, 。

类似地

定理2、2 微分方程(1。1)具有形如得积分因子得充要条件为

只就是得连续函数, 不含。并且, 、

例2。1 求得通解。

解: 因=, 故 .

方程两边同乘以得,

即, 故通解为=,

即,(为任意常数)。

情况２如果(1、1)具有形如得积分因子, 令, 则=。由(1、4)得

＝,

于就是得到:

定理2。3 微分方程(1。1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是得连续函数, 此时积分因子为

, (为任意非零常数)、

例２。2 求得积分因子。

解: 因=

故方程具有形如得积分因子, 取得, =。

情况3 如果(1。１)具有形如得积分因子, 令, 则=、由(1、4)得

=,

于就是得到:

定理2、4 微分方程(1、1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是得连续函数, 此时积分因子为

, (为任意非零常数)。

例2、3 求得积分因子。

解: 因=,

故方程具有形如得积分因子, 取得=。

情况４一般地, 如果方程(1、1)具有形如得积分因子, 令, 则、由(1、４)得

=,

于就是得到

定理２、5 微分方程(1、1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是得连续函数, 此时积分因子为, (为任意非零常数)。

类似地, 我们有

定理2。6 微分方程(1.1)具有形如得积分因子得充要条件为只就是得连续函数, 此时积分因子为, (为任意非零常数).

例2、4 求得积分因子。

解: 由,

=,

易知, 欲使上式仅就是得函数, 只须等于常数即可。为此, 令, , 得, . 此时=-１。取得。

三、一般理论

定理３、1 如果就是微分方程(1。１)得积分因子, (1。1)乘以后得到(1。

3). 设(1.3)得左端为, 则仍就是(1、1)得积分因子、其中, 就是任何可微函数。

定理3.2 在(１、１)中, 若与在长方形区域上连续,且在上处处不为零。对于(1、1)得任何两个在上处处连续且恒不为零得积分因子, (从而, 在上不变号), 设

.

则在内任一点, 可定出一邻域, 在此邻域内, 只就是得函数、

上述两定理得证明可参见参考文献[3］.

注3、1 由定理3、1与定理3。２即知, 设就是(1。1)得积分因子, (1。

3)得左端为, 则(1。1)得积分因子通式为. 其中, 就是任何可微函数。

例3、1 求得积分因子及通解.

解:重新组合: ,

对于前一个括号内可求得一个积分因子, 乘之得. 故前一个括号内可取积分因子通式为.

同样可得后一个括号内得积分因子通式为、

下面求出, , 使得=、设, , 即有=, 于就是得, 解得, 、从而即得原微分方程得一个积分因子为, 用乘以方程得两边可求得通积分为, (为任意常数)。