布朗运动的理论研究

2 爱因斯坦与布朗运动
爱因斯坦在 1905 年发表的一篇文章《分子大小的新测定方法》。文章描述：“气体分子运动论 使测定分子大小的最早办法成为可能，可是液体中可观测的物理现象直到目前还没有用来计算分子 大小。……现在这篇论文中将说明：不离解得稀溶液中溶质的分子的大小，可以从溶液和纯溶质的 内摩擦，以及从溶质在溶剂里面的扩散率求出来。只要一个溶质的分子体积大于一个溶剂分子的体 [3] 积。 ”计算结果是：糖分子的半径 P 0.49 10 6 mm ;阿伏伽德罗常数 N 6.56 10 23 mol 1 。爱 因斯坦认为其结果“同由其他方法所得到的这个量的值，在数量级上是一致令人满意的”。同年， 爱因斯坦发表的一篇论文《关于热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》，这篇论 文从定量和理论的角度对布朗运动进行了研究。爱因斯坦主要研究的目的是：观测分子运动的涨落 现象所产生的悬浮粒子无规则运动，从而测定分子的实际大小，用来解决近五十年来哲学界和科学 界争论不休的原子是否存在的问题。爱因斯坦的论文主要思考了两个问题：第一，布朗粒子为什么 会运动？第二，布朗粒子在一定时间内运动路径是多少？ 爱因斯坦以范托夫和斯托克斯的理论为基础，把流体力学方法和扩散理论结合起来，从而证明 了布朗粒子的运动是由于液体分子从各个方向对它们的撞击引起的。这种无规则和偶然性的撞击， 使得各个方向的作用一般地说并不完全相互抵消； 由于布朗粒子的线度约为 10 4 cm ， 周围分子不均 匀的无规则碰撞所产生的不平衡力足以使它发生运动。事实上，物质的本质是由原子构成的，微观 性质的统计平均值表现为宏观性质，所以宏观性质会表现有统计平均所必然的涨落现象。这种涨落 [4] 现象在布朗运动中表现的十分明显 。通常情况下，布朗粒子在液体汇总所受周围液体分子的碰撞， 19 约为 10 次 S 。在这样高频率的碰撞之下，颗粒的瞬时运动是无法观测到的。我们所能观测到的只 [5] 是在宏观短的时间内，颗粒的一种平均运动。所观测的布朗粒子的位移不过是一种剩余的涨落 。 爱因斯坦在阐述了布朗运动的分子理论后，并开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学研 究由分子热运动所引起的不规则运动。在此研究过程中，爱因斯坦假设每个粒子的运动都独立无关， 同一个粒子在各个不同的时间间隔中的运动，都必须看作相互独立的过程。爱因斯坦经过严密的数 学推导，他得到了著名的关于扩散的微分方程:
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x2
x 0,
于是，爱因斯坦得到了扩散长度公式：
x 2 2 Dt

x
2
[6]
2 Dt
因此，平均位移和时间的平方根成正比 。 [7] 爱因斯坦对于布朗运动的研究从数学角度分析，可以总结成以下三条论断 ： (1) 布朗粒子在两个不同时间段内的运动相互独立。因此，无法由过去的运动预测未来的运动。 （2）布朗颗粒等可能的向任意方向运动，平均来看，它在一段时间内的位移与时间的平方根成 正比。 （3）布朗粒子的运动轨迹是连续的。 爱因斯坦虽然没有发展出布朗运动的一般理论，但他的工作影响了数学家维纳（1894-1964）。 1923 年，维纳发表了论文《微分空间》，构造了布朗运动的数学模型，成为研究布朗运动的一个里 程碑。爱因斯坦对于布朗运动的研究成果，彭罗斯指出，“爱因斯坦通过他的论测定分子大小的博 士论文和他对布朗运动本性的分析……仅仅是后一种分析就使得爱因斯坦在历史上占有一席之地。 [8] 确实，他关于布朗运动的工作为重要的统计理解奠定了基础，这在许多其他领域都有巨大的意义 。 爱因斯坦从事布朗运动这一工作的历史背景是当时科学界正处在关于分子真实性争论的时期。 这个争论由来已久，其中以物理学家和哲学家马赫和化学家奥斯特瓦尔德为代表的一些人，他们从 实证论和唯能论的观点出发，怀疑原子和分子的真实性，使得这个争论成为科学前沿中的一个重要 问题。对于这个问题，物理学家就要从科学的本质出发提出更有力的证据，证明原子、分子的真实 存在。例如，以往的相对原子质量和相对分子质量只是质量的相对比较值，如果能测得相对原子质 量和相对分子质量的绝对值，就能解决这个问题。 爱因斯坦的论文指出：“我们要找到证实确实存在有一定大小的原子的最有说服力的事实。” 爱因斯坦讲：“依据分子运动论，因为热的分子运动，大小可以用显微镜看到的物体悬浮于液体中， 一定会发生其大小可以用显微镜容易观测到的运动。这里所谓的运动就是‘布朗运动’”。爱因斯 坦对于布朗运动的成果大体上可以分为两个方面。第一是，爱因斯坦根据分子热运动的原理导出： 在时间 t 里，微粒在某一方向上位移的统计平均值，即方均根值。这个公式是无规则的布朗运动服 从分子热运动规律的必然结果。第二是，爱因斯坦对于球形微粒导出了可以求阿式中的 是介质粘 度，a 是微粒半径，R 是气体常数，NA 为阿伏伽德罗常数。依据这个公式，只要测出准确的扩散系 数 D 或布朗运动均方位移就可以得到原子和分子的绝对质量。
指导教师：徐峰
[摘 要]
本文阐述了经典布朗运动的定义以及爱因斯坦对布朗运动做出的巨大贡献， 并且介绍了继爱因斯坦后各
位科学家对布朗运动的不断探索和完善。评述了布朗运动理论从经典布朗运动到量子布朗运动的发展历程，以及布 朗运动近代发展趋势和布朗粒子在现代领域的应用。
[关键词] 布朗运动;随机过程;量子布朗运动;量子涨落耗散;扩散长度公式;布朗粒子;热于;量子态纠缠
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随后，布朗运动的研究就一直进下去，但始终没有定性的描述。为此有许多学者进行了长期的 研究。一些早期的研究者简单的将它归结为热或电等外界因素引起的。1863 年维纳（1826-1896） 提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。继维纳之后， 埃克斯纳提出了布朗运动是由于微观范围的流动性造成的，但他并没有解释这种流动性的根源。这 一时期，康托尼试图从热力理论的基础上解释布朗运动，认为把微粒当作巨大分子，它们与液体介 质处于热平衡， 它们与液体的相对运动起源于渗透作用和他们与周围液体之间的相互作用。 直到 1877 年，德耳索正确的指出，布朗运动是由于悬浮在液体中的颗粒受到周围的分子碰撞不平衡而引起的 运动。德耳索根据克劳修斯把分子运动归结为平动和转动的观点，认为微粒的运动是无规则位移。 由麦克斯韦和玻尔兹曼建立的气体分子运动论在概念上的一个重大发展是抛弃了对单个分子进 行详细跟踪的方法，取而代之的是对大量分子的统计处理，这为研究布朗运动的根源建立了坚实的 基础。至此，布朗运动的适当物理模型已经日渐明显，剩下的问题就是需要作出定量的理论描述了。
引言
“八月桂花香”，这是一句人们熟知的俗语。我们从感性的角度只能体会到花香，却不了解花 香背后的秘密。从历史的角度来看，1827 年夏天英国植物学家罗伯特·布朗在显微镜下观察到花粉 颗粒在液体中不停顿的运动。他开始以为是生命的运动，但后来经过研究从而确认这不是生命现象 所致，因为这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在。这个最初由英国植物学家罗伯特·布朗的观 察，后来经过物理学家以及数学家的思考和严格推理，成为物理学中一个重要的科学理论。本文将 从经典布朗运动、布朗理论的完善发展到量子布朗运动进行理论介绍，从而达到对布朗运动理论的 历史发展进程的了解。所以，从科学的角度就行研究，探究这种现象背后的秘密成为最大的意义。
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力的作用下沿径向外运动，越往外它的离心力就越大，但它所受到的液体的黏滞阻力就越大，于是 在一定半径处达到平衡。 佩兰在几位科学家的帮助下，做了一系列的测量。佩兰不但改变了悬浮颗粒的大小，并采用多 种测量方法，而且还改变了液体的性质（水、糖、甘油、尿素溶液）和粘度（1：:125），得到 N 值 在 5.5 10 22 mol 1 到 7.2 10 23 mol 1 之间。这些数值的高度一致性，证明了爱因斯坦对布朗运动所 [8] 做的分子运动论解释，使得人们不在怀疑平移布朗运动的分子运动理论的正确性 。此后，佩兰又 验证了爱因斯坦布朗运动理论中的位移公式和爱因斯坦的转动布朗运动公式。 爱因斯坦用统计物理和流动力学的方法，研究了多个布朗粒子的分布，导出了扩散长度公式。 布朗运动是由于布朗粒子受到周围粒子的分子不停的碰撞而引起的，由于布朗粒子十分微小，单位 时间内冲击它的气体或液体分子数目较少，这就使涨落变得显著起来，在任意瞬间，分子从各个方 向与布朗离子的不平衡碰撞，导致布朗粒子受到一个涨落不定的力，因为粒子本身质量较小，于是 这种涨落不定的力足以使它发生显著的无规则运动，并且粒子越小，无规则运动就越越显著。 1908 年，法国物理学家郎之万（1872-1946）在研究布朗运动的涨落现象时，给出了物理学中 第一个随机运动微分方程，郎之万把布朗粒子受到的介质分子对它的作用力分为两个部分：①介质 的宏观粘滞阻力 ，在这个表示中 为摩擦系数， 为布朗粒子的速度。粘滞阻力来自于介质分 子对布朗粒子的碰撞，当布朗粒子以较大的速度运动时，在其前进方向上将和更多的分子碰撞，因 此平均而言将受到与其速度方向相反的粘滞阻力。当速度不太大时，阻力的大小和速度的大小成正 比。假若利用流体力学近似，将布朗粒子看作半径为 r 的小球，在粘滞系数为 的流体中运动，则 摩擦系数为 6r 。②介质分子布朗粒子无规则作用力 F t ，这个相当于介质分子对静止的布 朗粒子的碰撞的作用力。这个作用力 F t 在长时间间隔中的均值为 0： F t 0 假设布朗粒子的质量为 m ，给定一维水平方向，相应的运动方程为：
1 布朗运动
1827 年，英国植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown,1773-1858)发现花粉颗粒在液体中不断 地作无规则运动，他最初以为是生命运动。但是，罗伯特·布朗作为一个科学家，他没有轻易地放 过这个研究机会。 1828 年，罗伯特·布朗将自己的观察结果作为报告发表，后人简记为《植物花粉的纤维观察》。 报告指出：当检查这些微粒在水中的形式时，布朗发现这些微粒大多在明显的运动。这种运动不只 是在液体中位置的改变，这可以由它们的相对位置改变来证实，而且还常有微粒自身形式的改变。 在经过罗伯特·布朗多次的观察后，他确定这种运动不是简单的生命运动，也不是由于液体的流动 [1] 和蒸发所引起的，而是属于例子本身的运动 。事实上，罗伯特·布朗并不是观察到这类运动的第 一人。布朗运动的现象起源于 Jan Inge 在 1785 年观察木炭粉末在酒表面的运动，但是罗伯特·布 朗作为第一个对这种现象进行科学研究的人。因此，这种运动被命名为“布朗运动”。 正是由于罗伯特·布朗对科学的严谨态度，这样布朗运动从生物学领域延伸到了物理学领域。 罗伯特·布朗经过大量的科学实验以及观察，并对布朗运动阐明了几点事实。例如：(1)布朗运动的 速度与粒子大小成反比，越细小的粒子运动地越快；(2)运动会随温度的升高而加剧；(3)当溶液的 黏度降低时，运动会变得更加活跃；(4)运动不受液体蒸发的影响，因为观察时，密闭的容器中如果 [2] 盛满液体，液体就无从蒸发；(5)运动与光线直射没有关系等等 。
f 2 f D 2 （D 为扩散常数) t x
假定在 t=0 时刻粒子位于 x=0 处，即 ( x,0) ( x ) ，扩散方程的解是：
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1 4 Dt ( x, t ) e ， 4Dt
粒子的密度遵循高斯分布，对于固定时刻 t,x 和 x 2 的平均值分别是：
题
目 王伟
布朗运动的理论研究 学号 1210014056
学生姓名 所在学院 专业班级 指导教师 完成地点
物理与电信工程学院 物理 1202 徐峰 陕西理工学院 __ ____ ___
2016 年 6 月 3 日
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布朗运动的理论研究
王伟
（陕西理工学院 物理系 物理 1202，陕西 汉中,723000）
3 爱因斯坦布朗运动的后续研究
爱因斯坦对于布朗运动的理论发表后，许多物理学家对其进行了相应的实验验证。法国物理学 家佩兰(Jean Baptiste ,1870-1942）利用超微显微镜对布朗运动做了详细的观察，其观测结果也证 明了爱因斯坦的理论计算是正确的。佩兰从 1908 年开始了对布朗运动进行乳浊液沉积实验的研究。 对此，佩兰采用“离心分类法”，在高速旋转的处于水平位置的试管里，大小不同的小颗粒在离心