牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较

牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较

学生姓名：XXX 指导教师:XX

摘要：微积分学是人类近代史上最杰出的科学成果之一,它是几千年来人类智慧的结晶,微积分的创立,不仅解决了当时的一些重要的科学问题,而且由此产生了诸如微积分方程、无穷级数等一些重要的数学分支。牛顿和莱布尼兹为微积分学的奠基人,他们的巨大贡献早已载入数学史册，本文将依次介绍了牛顿——莱布尼兹公式的历史，并从三个方面谈了著名的牛顿——莱布尼兹公式的作用；用四种方法证明了牛顿——莱布尼兹公式，并对这几种证明方法进行较全面地比较，从中可以知道它们之间的异同和各自特点,以便在教学中适当地选用,博采众长,以取得更好的效果。最后对其应用范围进行了推广，以便让人们更深刻地了解牛顿——莱布尼兹公式并能在教学、实践中熟练应用。

关键词:牛顿——莱布尼兹作用证明比较推广

1.微积分的形成及作用

微积分的酝酿于17世纪上半叶到世纪末,18世纪微积分进一步发展,这种发展与广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域[1]。

微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善,凝结了无数数学家的心血和劳动,是无数数学家艰苦奋斗的集体成果,熟悉微积分的历史发展,了解人类这一巨大财富的积累过程和数学家们所经历的艰苦漫长的道路及奋斗精神,对于提高一个人的数学素养,提高自身的数学意识和思维能力,适用于指导实际工作,都具有很重要的意义。

1.1微积分的早期萌芽

积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,这要追溯到遥远的古希腊时代，这一时代有许多代表人物。

（1）.欧多克索斯的穷竭法

欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”，欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:两圆面积之比等于其半径平方之比;两球体积之比等于其半径

等等。将穷竭法发展成为一立方之比;圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的1

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种严格的证明方法,但他没有明确的极限思想。

（2）.阿基米德的平衡法

阿基米德的数学工作是创造与论证的结合,在《处理力学问题的方法》这篇著作中,阿基米德论述了15个命题,集中阐明了发现求积公式的方法,这种方法被称为“平衡法”,他的平衡法与现代积分的基本思想实质是相同的，阿基米德利用平衡法解决了许多几何图形求面积、体积的问题,而平衡法本身是以极限为基础的,而当时不可能有极限理论,阿基米德意识到了他的平衡法在数学上缺乏严密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一个面积或体积后,必定要用穷竭法加以证明。

（3）.刘徽的割圆术和体积理论

刘徽在积分学方面的贡献主要在两个方面:割圆术和体积理论.割圆术是运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆;刘徽的面积与体积理论

建立在他的“出入相补”原理上,在球体积公式的推算中,刘徽首创了立体图形“牟合方盖”,但刘徽在求牟合方盖的体积时,遇到很大的困难终未能解决。 （4）.祖暅原理

刘徽绞尽脑汁没能解决的球体积推证问题,到了祖冲之时代终于由祖暅解决了，祖暅对球体积的推导继承了刘徽的路线,即从计算“牟合方盖”的体积为突破,祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这就是著名的“祖暅原理”。 （5）.卡瓦列里的不可分量原理

卡瓦列里是意大利的数学家,他1635年发表《用新方法促进的连续不可分量的几何学》。著作中他发展了系统的不可分量方法,建立了“卡瓦列里原理”:

卡瓦列里对积分学创立最重要的贡献还在于1639年他利用平面上的不可分量原理建立了等价于积分1

1

n n

a a n x dx ++=

⎰

的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法的过渡。

下面再来谈谈微分学的早期萌芽，与积分学两千多年的早期萌芽史相比,微分学的萌芽史就短得多了直到17世纪,受到求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题的刺激,微分学才出现了重大突破。主要表现在下面三个方面上: （1）.费马求极大值与极小值的方法

费马是法国数学家,费马求极大值与极小值的方法在1629年已经设计完成了,但直到八、九年以后才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中发现。但费马的方法除了逻辑上的不完整外,还存在两个问题:一是费马的方法对极大值与极小值未加区别;再是费马不知道f(x)的导数为零只是极值的必要条件而非充分条件。 （2）.费马求切线的方法

费马在处理求曲线的切线和求极大值与极小值两大问题时,所采用的方法是一致的,用现代语言说,都是先取增量,而后让增量趋向于零,这正是微分学的实质所在。 (3).巴罗的微分三角形

巴罗是英国的数学家,巴罗也给出了求曲线切线的方法,与费马不同,巴罗使用的是几何学。巴罗几何法的关键概念后来变得很有名,就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”。

巴罗求切线的方法非常接近微分学中所采用的方法,是费马方法的进一步发展[2]

。 1.2微积分的创立

数学家们在17世纪上半叶所做的一系列的工作为微积分的创立做了充分的准备,但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生,因为他们的方法只是针对具体问题,缺乏足够的一般性。作为微积分的主要特征的微分与积分的互逆关系,虽然有的学者在研究中已经触及到了,然而没有人能意识到这种联系的重要价值而深入研究。科学巨人牛顿和莱布尼兹的出现,完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。

牛顿对微积分问题的研究始于1664年,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月建立了“反流数术”(积分学)。1666年10月,牛顿将前两年研究成果整理成一篇论文《流数简论》,此论文是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文以速度形式引进了“流数”(即微商)概念。牛顿对于面积计算与求切线问题的互逆关系,明确地作为一般规律提出来,并将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿正是运用了这种关系,将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关系,进而将这两类运算进一步统一成整体。牛顿的工作将微积分的创立从量的积累完成了质的飞跃,正是在这样的意义下,我们说牛顿发明了微积分。