证明面面直的方法

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篇一：线面、面面垂直的证明

线面、面面垂直的证明

广东省珠海市斗门区第一中学(519100) 冼虹雁

教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学（选修）人民教育出版社（人教版）年级、科目：高三数学第1轮复习课第十章第9课时

一、【教材分析】

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点．在新课标教材中将立体几何难度要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重．

预测2011年高考将以多面体为载体直接考查线面位置关系：

（1）考题将可能以选择题、填空题或解答题的形式出现；

（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考查线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主；

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点．

二、【教学目标】

知识与技能目标：（1）理解几种垂直的定义，掌握线面、面面垂直的判定定理；

（2）运用线面、面面垂直的判定定理解决问题．

过程与方法目标：（1）通过直观感知，操作确认的方法归纳、概括结论；

（2）通过探究线面、面面垂直的判定，体验空间向平面转化的数学思

想方法．

情感与态度目标：增强学生的自主探究意识，体会由特殊到一般的认知规律，培养学生互相合作的学习态度，勇于探究，积极思考的学习精神．

三、【教学重、难点】

重点：（1）掌握几种垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号规范表述；（2）通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力．

难点：面面垂直的证明．

四、【教学思想】

以学生为主体，以教师为主导，以思维为核心，以训练为主线，以培养能力为目标．

五、【教学方法】

启发式讲解，互动式讨论，讲练结合．

六、【教学流程】

（一）基础回顾

直线与平面垂直

1．定义：如果直线l和平面?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面?互相垂直，记作l??．

2．判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

3．性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

平面与平面垂直

1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3．性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

P （二）例题解析

1．线面垂直的证明

例1：如图所示，已知PA?⊙O所在的平面，AB是⊙

O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE?PC于E．

求证：AE?平面PBC．

E O B A

C PA?圆O所在平面??分析：??BC?PABC?圆O所在平面??BC?AC??BC?平面PAC? ???AE?BCPA?AC?A?AE?平面PAC???AE?PC ??AE?平面PBC

PC?BC?C??

证明：∵PA?⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，

∴PA?BC．

又AB是⊙O的直径，∴BC?AC．而PA?AC?A，∴BC?平面PAC，

∴BC?AE．

又AE?PC，PC?BC?C，

∴AE?平面PBC．

【学生演练】

【教师点评】分析从结论入手，论证从已知开始．

【巩固练习】（2010年广东高考题）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E 为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC?平面BED．

F 证明：EB?FD．

C D A B

分析：

E ?????EB?平面BFD?EB?FC??EB?FD?FD?平面BFDFC?平面BED?????BC?FC?C?EB?平面BED?E为弧AC的中点?EB?BC

证明：∵点E为弧AC的中点，∴?ABE??

2，即BE?AC．

又∵FC?平面BED，BE?平面BED，

∴FC?BE．

又∵FC、AC?平面FBD，FC?AC?C，

∴BE?平面FBD．

∵FD?平面FBD，∴EB?FD．

2．面面垂直的证明

例2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，

PO?底面ABCD．

求证：平面PAC?平面BDE．A 分析：PO?平面ABCD??BD?PO??BD?平面ABCD?? BD?AC??BD?平面PAC???平面PAC?平面BDE AC?PO?O?BD?平面BDE??

证明：∵PO?底面ABCD，BD?底面ABCD，

∴PO?BD．

又∵ABCD是正方形，∴BD?AC，

又PO?AC?O，∴BD?平面PAC．

又BD?平面BDE，

∴平面PAC?平面BDE．

【学生演练】

【教师点评】

【巩固练习】（2010年山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA?底面ABCD，PD ∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．

求证：平面EFG⊥平面PDC．

分析：

MA?平面ABCD?? PD//MA? ??

? ? PD?平面ABCD??BC?PD???BC?平面ABCD??GF?平面PDC? ?BC?DC?BC?平面PDC???平面EFG?平面PDC?? ?GF?平面EFG?PD?DC?D??? ? G为PB的中点???GF//BC?? F为PC 的中点?

证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD ∥MA，

∴PD⊥平面ABCD．

又BC ?平面ABCD，

∴PD⊥BC．

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC⊥DC．

又∵PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC．

在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，

∴GF∥BC．

∴GF⊥平面PDC．

又∵GF?平面EFG，

∴平面EFG⊥平面PDC．

（三）巩固强化

1．（2009年海南省考试说明样题）如右图，P、Q、R分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BB1、BC的中点．

求证：BD1⊥平面PQR．

证明：连结BC1、B1C．

∵四边形BCC1B1是正方形，

∴BC1⊥B1C．

又∵R、Q分别是BC、B1B的中点，

∴QR∥B1C，

∴QR⊥BC1．

又C1D1⊥平面BCC1B1，QR?平面BCC1B1，

∴C1D1⊥QR．

又BC1和C1D1是平面B C1D1内的两条相交直线，

∴QR⊥平面B C1D1．

∵BD1?平面B C1D1，

∴QR⊥BD1．

同理，PR⊥平面BDD1，