数学分析第三章 极限与函数的连续性02教学教案

例4 证明 li m s i n 1 不存在.
x 0
x
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定理3.11 设 f ( u ) 在 u 0 点附近(u u0 ) 有定义，
且 limf(u)A ，而 uu0
u g(x) 在 x
0
点附近 (x
x0 )
有定义，g(x) u0且
limg(x)
xx0
u0
，则
limf(g(x))A.
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定理3.10 (函数极限与数列极限的关系)
lim f (x) A
xx0
对任意以 x 0 为极限的数列{ x n } ,且 xnx0(n1 ,2, ),
都有
lim
n
f
(xn)
A.
注：此定理又称海涅（Heine）定理
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定理3.10不仅可以用来证明某些函数的极限存 在，还可用它来证明某些函数极限不存在.
§3 函数的极限
一、 引例
观 察 函 数 sinx当 x 时 的 变 化 趋 势 . x
联 想 到 数 列 s in n 当 n 时 的 变 化 趋 势 . n
lim sinn0 ， 猜 测 sinx 0(n ).
n n
x
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Baidu Nhomakorabea
几何意义
y
A
A
A
yf(x)
o x0 x 0 x0
x
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当x在0的 x 去心δ邻函 域数 时y,f(x) 图形完全落在以直 A为线中y 心线, 宽为2ε的带形.区域内
例2. 证明 lim x a(a0) xa
例3. 证明
lim x3 1 3 x1 x 1
xx0
例5. 求极限
41 x 1
lim
x0
x
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五、单侧极限
定义 设 f(x )在 (x 0,x 0 )有 定 义 ( 0 ) ， 如 B ， 对 0 , 0 ,使 当 x 0 x x 0 时 ， 有
f(x)B, 则 称 B 为 f(x )在 x 0 的 左 极 限
x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近于A”.
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二. 函数极限
定义 3.5 设 y f (x) 在 x0 点附近（除 x0 点外）有定义，如
果存在给定实数 A，使对任意给定的正数,总存在正数 ,使
得当0 x x0 （ x0 的去心邻域）时，有 f (x) A ,
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定理 (左、右极限与极限的关系 )
limf (x) A
xx0
lim f(x)lim f(x)A .
x x0
x x0
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例6.
f
(x)
x
sin
1 x
,
x0
1 x2 , x 0
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定理3.12 若 f ( x ) 在 ( a , b ) 上单调上升有上界， 则 lim f ( x) 存在
有
f (x)
A 0.
2
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定理3.1’的证明（见课本55页） 下面证明 定理3.1’(iii)
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定理3.4'
若 lim f (x) 0 ，且 0， g ( x ) 在 xx0 (x 0,x 0 )(x 0 ,x 0)上有界(局部有界)。 则 limf(x)g(x)0. xx0
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事实:函数 y f (x)在 x 的过程中, 对应函数 值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当x无限增大时， f (x) sin x 无限接近于0
limx2 0, li(1 m co x) s0 ,
x0 2
x 0
lim coxs1, 又 lim 11, limsinx1.
x 0
x 0
x0 x
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2、 li(m 11)xe x x
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证明：前章我们已经证明了 lim(11)ne2.71828 n n
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定理3.5’(局部保序性)
若 limf(x)A, limg(x)B,且 AB,
xx0
x x0
则 0，当 0 |xx0|时 ，
有 f(x)g(x).
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定理 3.6’ (极限不等式)
若 0，当 0 |xx0|时 ， 有
f(x)g(x)， 且 limf(x)A,limg(x) B，
作 单 位 圆 的 切 线 ， 得 A C O .
C
扇 形 O A B 的 圆 心 角 为 x,
B
OAB的 高 为 BD,
于 是 有 s in x B D , ta n x A C
x
oDA
SOAB1 2OABD1 2sinx
S S S S 扇 形 O A B 1 2 ( O A ) 2 x 1 2 x ,S O A C 1 2 O A A C 1 2 ta n x
当x 1时, 有 [x]x[x]1,
(1 1 )(11)(11) [x]1 x [x]
(1 1 )[x](11)x(11)[x]1
[x]1
x
[x]
则 lim(1 1 )[x]1 x [x]
lim(1 1 )[x] lim(1 1 ) e
x [x] x [x]
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lim(1 1 )[x] x [x]1
lim(11)x e. 证毕。 x x
1
注：lim(1x)x e. x0
证明：
令
t
1 x
,
1
lim (1x)x
lim (11)t
e.
x0
t t
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记为 x l im x 0 f(x ) f(x 0 ) f (x 0 ) f(x 0 0 ) B .
设 f ( x ) 在 (x0, x0 )有定义 ( 0)，如 C ，
对0,0使当 x0xx0 时，有 f(x)C,
则称 C为 f ( x ) 在 x 0 的右极限，记为
x l im x 0 f(x ) f(x 0 ) f (x 0 ) f(x 0 0 ) C .
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lxi m ba00xxm n ba11xxm n 11
an bm
lim xnm
a0
a1 x
x
b0
b1 x
an xn
bm xm
a0 b0 0
,
,
,
nm
nm nm
六、两个重要极限
six n 1、 lim 1
x 0 x
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证明：不妨设0 x
2
如图，单位圆O, 圆心角AOB x,
xx0
xx0
则 AB.
定理3.7’（极限唯一性）
若极限 lim f ( x ) 存在，则极限是唯一的. x x0
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定理3.8’（夹迫性）
若 0，当 0| x-x0 |时,
有 g (x )f(x ) h (x )，
且 lim g(x)lim h(x)A ,
x x0
x x0
则limf(x)A. xx0
x x 0
x x 0 x x 0
（3） limf(x)xl ixm 0 f(x)A (B0)。 xx0 g(x) limg(x) B
xx0
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四、函数极限的性质
定理3.2’（局部有界性)
若 limf(x)A, 则 0，使得 f ( x) xx0 在 (x 0,x 0 )(x 0 ,x 0)上有界。
则称 A是函数 f ( x)在 x0 的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )。
思考：如何叙述 limf(x)A不成立？ xx0 2020/10/22
简记为
limf(x)A
xx0
对 于 任 意 0,存 在 0,使 0xx0, 恒 有 f(x)A.
也 可 用 形 式 ： f(x ) A M (M 0 ) .
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定理3.3’(局部保号性)
若 limf(x)A0 xx0
则 0，当 0| xx0|时，有
f (x) A 0 2
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推论3.4 设 lim f (x) A. xx0
i ) 若 A 0 , 则 0，当 0| xx0|时，
有
f (x)
A 0; 2
i i ) 若 A 0 , 则 0，当 0| xx0|时，
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三、函数极限的四则运算
定理3.1’若 limf(x)A, limg(x)B,则
xx0
xx0
（1） li(m f(x)g(x) )lim f(x)lig m (x)
x x0
x x0
x x0
A B , （这里 , 为常数）。
（2） li(fm (x )g (x ) )lifm (x )lig m (x ) A 。 B
x b
证明：Page 60
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推论3.5
（1） f ( x ) 在 ( a , b ) 上单调上升有下界，则
lim f ( x)存在；
x a
（2）f ( x ) 在 ( a , b ) 上单调上升，则对任意
x0
(a,b)
，有
lim
x x0
f
(x)
和
lim f ( x)
x x0
都存在（但不一定相等）
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六种趋势下的极限的表示形式：
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ;
xx0
xx0
xx0
limf (x) A;
x
lim f (x)A; lim f (x)A;
x
x
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例9.
1 x
lim
x0
xn
例10. 设 a00,b00,m,n是非负整数，则
lim(1 1 )[x]1 lim(1 1 )1
x [x]1
x [x]1
e,
由夹迫定理有 lim(11)x e.
x x
令t x,
li(m 11)xli(m 11)t lim(1 1 )t
x t x
t
t t 1
lim (11)t1(11)e.
t t1
t1
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即lim(11)x e. x x
又 O A B扇 形 O A B O A C,即1sinx1x1tanx.
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2
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six n x ta x ,n即coxssinx1, x
上 式 对 于 x0也 成 立 .当0
2
x
2
时,
0co x 1 s 1 co xs 2sin2 x 2( x ) 2
x2 ,
22 2