小干扰稳定的鲁棒性能指标及分析

小干扰稳定的鲁棒性能指标及分析

莫逆，杨素，刘锋，梅生伟

（清华大学 电力系统及发电设备安全控制和仿真国家重点实验室 北京100084）

摘 要：本文借助鲁棒性能分析方法，通过选取恰当的扰动和评价输出信号，构成电力系统小干扰稳定的鲁棒分析模型，提出采用系统从扰动输入到评价输出信号的2/H H ∞范数组合作为小干扰稳定的评价指标，全面反映

系统抑制振荡的能力。为验证该指标的正确性，本文选取4机2区域系统作为测试系统，与现有指标进行了对比研究，测试结果表明：本文提出的2/H H ∞组合物理意义清晰，直观有效，能全面反映系统的小干扰稳定性，显示出应用上的优越性。系统测试还表明：该指标可有效地应用于系统小干扰稳定性能的评估、控制器安装位置选择，以及指导控制器参数调整等方面。

关键词：小干扰稳定；低频振荡；2/H H ∞组合指标

0 引言

随着现代电力系统规模日益增大，低频振荡

问题时有发生，严重威胁电网的安全稳定，因此，电力系统的小干扰稳定研究一直是各国学者长期关注的问题。目前小干扰稳定研究最主要的指标是线性化系统状态矩阵的特征值和阻尼比。系统的特征值与系统的各种振荡模式对应，特征值实部的符号决定了系统的小干扰稳定性，而阻尼比则体现了某个振荡模式下的系统阻尼能力[1,4]。为了保证整个系统稳定性，研究小干扰稳定需要考虑所有振荡模式的阻尼，同时也必须考虑控制模式以及其他特征值。通常的控制设计方案只以振荡模式阻尼比为控制目标，有可能在改善一个模式的阻尼时引起其他模式的性能恶化。因此，如何实现多阻尼控制策略之间的相互协调在理论和工程两方面都是一个具有重要意义的课题。

鲁棒性分析方法中的2/H H ∞指标是从控制系统中提出，本质是定量描述系统输入输出增益，换句话说，是衡量系统对输入的抑制能力。其中，H ∞指标表示系统对最坏输入的抑制能力，而2H 指标则描述系统对全部频段输入的平均抑制能力[2,3]

。借鉴这一观点，本文提出采用2/H H ∞组合指标综合评价系统的小干扰稳定性能。

1 小干扰稳定的鲁棒性分析模型

电力系统的机电动态特性可以用微分代数方程进行统一描述。本文发电机采用三阶模型，

则其微分方程的具体形式为：

0m e ''''d0q f q d d d (1)

(1)()M p p D T e v e x x i δ

ωωωω⎧=-⎪=---⎨⎪=---⎩

（1-1）

其接口方程为：

''q a q q d l d d a d q l q 0()0()v r i e x x i v r i x x i ⎧=+-+-⎨=+--⎩

（1-2）

其中： δ为发电机转子角度，ω为角速度标幺值，

0ω为角速度额定值，m p 为机械功率，'

q

e 为q 轴暂态电动势，D 为阻尼系数，'

d0T 为d 轴暂态时间常数，M 为惯量时间常数，f v 为励磁电动势，

d x 为d 轴电抗，'

d x 为d 轴暂态电抗，q x 为q 轴电抗，a r 和l x 分别为定子电阻和漏抗，d i 和q i 分别为定子电流的d 轴和q 轴分量，d v 和q v 分别为定子电压的d 轴和q 轴分量。

为了消去代数变量，还必须考虑输电网络模型。建立系统状态方程，通过节点收缩得到系统的ODE 形式，并在平衡点处线性化，得到相对坐标下的小干扰稳定分析的状态方程模型[4]：

∆=∆x A x （1-3） 在系统（1-3）中添加干扰输入和评价输出信号，

即可得电力系统小干扰稳定的鲁棒分析模型[3]：

∆=∆+=∆+1111x

A x

B w z

C x

D w

（1-4）

其中，w 为干扰输入，z 为评价输出信号，1B 为干扰的输入增益矩阵，1C 为评价输出信号中状态变量的系数矩阵，11D 为评价输出信号中扰动的直接输出增益矩阵。

2 2/H H ∞组合指标

设系统从扰动输入w 到评价输出信号z 的

传递函数矩阵为()s zw T ，即：

()()()s s s =zw z T w (2-1) 根据Parseval 定理，可以推得传递函数矩阵

()s zw T 的2H 范数2()s zw T 的物理意义为w 为脉冲输入时，评价输出信号z 的总的能量[2]。()s zw T 的H ∞范数等于系统的频率响应的最大奇异值的上界，它恰好等于系统的评价输出信号能量与扰动输入能量的比的上界，即：

20

2

()()

sup

()

s s s ∞

≠=zw w z T w (2-2)

对于SISO 系统，()s zw T 的H ∞范数在数值上等于能量有界的扰动输入()t w 的激励下评价输出信号()t z 和()t w 的能量之比的上确界[3]。这就是说，当()t w 是能量有界的干扰时，为了减小其响应()t z ，应该尽可能的减小()s ∞zw T 的值。 从H ∞和2H 范数的物理意义看，两者都反映

了系统抑制干扰的能力。以SISO 系统为例，其H ∞范数为频率响应的峰值，2H 范数则是频率响应的面积。也就是说，H ∞范数反映的是最严重的扰动频率下系统的响应情况；而2H 范数反映的则是该频率响应的平均情况。系统的频率响应等于系统单位冲击响应的傅里叶变换，在该响应中，若某个频率的能量较大，则相应的频率响应也越大，从而系统的H ∞和2H 范数也受其影响。因此，可以用系统的H ∞和2H 范数来刻画系统对干扰的抑制能力。

根据H ∞和2H 范数的物理意义，可以看出二者均能够反映系统小干扰稳定的水平，可以应用在电力系统小干扰稳定分析问题中。H ∞范数表示最坏扰动情况下的干扰增益，而2H 范数能够评估所有振荡模式的平均效应。如系统H ∞范数越小，说明系统最严重的振荡模式阻尼越充分。系统2H 范数越小，则系统所有振荡模式的平均性能越好，系统的整体干扰抑制能力也越强。因此，2/H H ∞组合指标（鲁棒性能指标）互补性强，能够全面地反映系统的小干扰稳定性能。

在实际应用中，对于所研究的系统，如果工况变化引起鲁棒性能指标下降（范数变大），则说明该变化使得系统的干扰抑制能力减弱；如果系统范数增大到某个临界值，则说明系统处于小干扰稳定临界态，此时可以通过预防控制或者在线调整控制器参数将该系统范数降低到安全的水平。该临界值可以通过离线计算获得。由以上分析可以发现，2/H H ∞组合指标物理意义清晰，既考虑了最严重情况，又兼顾了系统整体情况，因而在系统小干扰稳定性能的评估、控制器安装位置选择，以及指导控制器参数调整等方面具有良好的应用前景。

3应用仿真分析

为验证本文提出的2/H H ∞组合指标，下面我们在一个4机2区域系统上进行仿真计算，考察其在评估系统小干扰稳定性能、指导控制器参数调整、指导控制器安装位置选择等方面的作用。

3.1 4机2区域测试系统

选取4机2区域系统[4]作为测试系统，系统在额定潮流运行时，系统的特征值分析结果如表3.1所示。系统存在3个弱阻尼的机电振荡模式，其中模式1主要与1号发电机和2号发电机的转速强相关，模式2主要与3号发电机和4号发电机的转速强相关，二者均为本地振荡模式；模式3和所有发电机的转速都强相关，是区域间振荡模式。

表3.1 额定运行点的振荡模式

模式 特征值 频率(Hz) 阻尼比 模式1 -0.236±6.855i 1.09 0.034 模式2 -0.243±7.079i 1.13 0.034 模式3

-0.119±4.024i

0.64

0.030

3.2 下面在4机2区域测试系统中，逐步改变总负荷水平，观察系统的小干扰稳定性能与系统H

和图 3.1 系统总负荷变化时关键特征值变化情况

图 3.1为系统总负荷从2119MW 增加到2734MW 时关键特征值的移动情况，圆形标记处为起点，菱形标记处为终点。通过该图可以看出，随着系统总负荷的增加，模式1和模式2阻尼比减小，而对应模式3的特征值左移，阻尼比增加，系统总的小干扰稳定性能变化趋势还无法判断。

下面再考虑2/H H ∞组合指标。先确定输入输出量。这里将所有发电机励磁电压波动作为扰动，所有发电机的相对转速作为评价输出信号，然后计算H ∞和2H 范数，观察其变化情况。

从图3.2 和图 3.3中可以发现，随着系统总负荷的增加，系统的H ∞和2H 范数都随之增大。H ∞范数增大说明在单位冲击扰动的响应中，最严重的模式能量增大。从而对该频率的干扰抑制能力下降。2H 范数增大说明系统的所有振荡模