广东省河源市数学中考备考专题复习：存在性问题

广东省河源市数学中考备考专题复习：存在性问题

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、综合题 (共21题；共291分)

1. （15分） (2019八上·偃师期中) 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，P是CD边上一点，连结PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为点E，F，如图①

（1）求证：BE＝DF＋EF；

（2）若点P在DC的延长线上，如图②，上述结论还成立吗？如果成立请写出证明过程；如果不成立，请写出正确结论并加以证明.

（3）若点P在CD的延长线上，如图③，那么这三条线段的数量关系是________.(直接写出结果)

2. （15分） (2019九上·沭阳月考) 如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.

（1）求证：CD=CE.

（2）求证： = .

3. （15分） (2019九上·平川期中) 已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0.

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1 ， x2 ，且x1+3x2＝3，求m的值.

4. （15分）(2019·葫芦岛) 如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；

（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.

5. （15分） (2015九上·大石桥期末) 如图，抛物线与直线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标是2．点P在直线AB上方的抛物线上，过点P分别作PC∥y轴、PD∥x轴，与直线AB 交于点C、D，以PC、PD为边作矩形PCQD，设点Q的坐标为（m，n）．

（1）点A的坐标是________，点B的坐标是________；

（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（3）求m与n之间的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（4）请直接写出矩形PCQD的周长最大时n的值．

6. （15分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE，使BE＝CD，连接DE交BC于点F．

（1）如图1，当∠CAB＝60°时，若AB＝2，求DE的长度；

（2）如图2，当∠CAB≠60°时，求证：BE＝2BF．

7. （15分） (2019九上·余杭期末) 如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以线段

为直径作⊙ ，交轴的正半轴于点，过、、三点作抛物线.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结，，点是延长线上一点，的角平分线交⊙ 于点，连结，在直线上找一点，使得的周长最小，并求出此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8. （15分） (2018九上·武汉月考) 已知如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1，0)，C(0，－3)

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9. （10分）(2020·绥化) 如图，在正方形中，，点G在边上，连接，作

于点E ，于点F ，连接、，设，，．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若点G从点B沿边运动至点C停止，求点E ， F所经过的路径与边围成的图形的面积．

10. （15分）如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点和点 .

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得的周长最小.请求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点M，使得是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.

11. （15分）(2020·成华模拟) 如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝150°．

（1）求证：△PAB∽△PBC；

（2）求证：PA＝3PC；

（3）若AB＝10，求PA的长．

12. （10分）已知二次函数的图象过点，顶点坐标为 .

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求这个函数图象与x轴的交点的坐标.

13. （11分）(2017·黔东南模拟) 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；

14. （15分）(2014·遵义) 如图，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y 轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

15. （15分）(2020·长沙模拟) 在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD ，以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF（如图1）．