(完整版)鲁教版八年级数学上册第四章图形的平移和旋转

图形的平移与旋转
一．选择题（共8小题）
1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE沿着AB 边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0）D．（2，﹣1）
3．下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）
A．115°B．120°C．125°D．145°
5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC 的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°
6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）
A．15°B．20°C．30°D．45°7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上，若AB=1，∠B=60°，则△ABD的面积为（）
A．2B ．C ．D ．
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
二．填空题（共5小题）
9．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为
．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为．
11．如图，把直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，若AB=6，BE=3，GE=4，则图中阴影部分的面积是．
12．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是°．
13．如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为．
三．解答题（共12小题）
14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长
度有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，得到△DEF（A与D、B
与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；
（2）在（1）的条件下，连接AE和CE，请直接写出△ACE的面
积S，并判断B是否在边AE上．
15．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）证明：△ABE≌△C1BF；
（2）证明：EA1=FC；
（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分
别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，在坐标系中画
出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，
并写出A的对应点A2的坐标；
（3）求（2）中点A所走过的路线长．
17．将直角三角形ABC沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG=4，CF=6，AC=10，求阴影部分的面积．
18．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕A 点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．
20．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．
（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；
（2）求BC′的长．
21．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED 与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．
图形的平移与旋转
参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）
1．如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD=DC=4，DE=3，DE∥BC，∠C=90°，将△ADE 沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵∠C=90°，AD=DC=4，DE=3，
∴AE==5，
∵DE∥BC，
∴AE=BE=5，
∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE=5．
故选C．
2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将
△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的
对应点分别A1、B1、C1，则点A1的坐标为（）A．（3，﹣3）B．（1，﹣1）C．（3，0） D．（2，﹣1）
【解答】解：将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，
∵A（﹣3，2）
∴点A1的坐标为（﹣3+4，2﹣3），即（1，﹣1）．
故选B．
3．下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A、此图形是由平移得到的，故此选项正确；
B、此图形是由翻折得到的，故此选项错误；
C、此图形是由旋转得到的，故此选项错误；
D、此图形是由轴对称得到的，故此选项错误；
故选：A．
4．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）
A．115°B．120°C．125° D．145°
【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣∠BAC=120°，
∴旋转角等于120°．
故选B．
5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠CAC′=40°，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∵CC′∥AB，
∴∠BAC=∠ACC′=70°，
故选D．6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）
A．15°B．20°C．30°D．45°
【解答】解：如图，连接BB′；由题意得：
AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA=60°，BB′=BA；
在△BB′C′与△BAC中，
，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′=∠ABC′=30°，
故选C．
7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰
好落在BC边上，若AB=1，∠B=60°，则△ABD的面积为（）
A．2 B ．C ．D ．
【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴△ABD的面积=AB2=×12=．
故选D．
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE 上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，
∴∠D=∠B=40°，AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，
∴∠DAE=180°﹣∠E﹣∠D=80DU
=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣60°）=80°，
∴∠DAC=∠DAE﹣∠CAE=80°﹣60°=20°；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
9．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF 上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为3﹣．
【解答】解：∵∠F=45°，BC=3，
∴CF=3，又EF=4，
则EC=1，
∵BC=3，∠A=30°，
∴AC=3，
则AE=3﹣1，∠A=30°，
∴EG=3﹣，
阴影部分的面积为：×3×3﹣×（3﹣1）×（3﹣）
=3﹣．
故答案为：3﹣．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AB=2BC=4，AC=2，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，
即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S
阴影
=DF×CF=×=．
11．如图，把直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，若AB=6，BE=3，GE=4，则图中阴影部分的面积是15．
【解答】解：∵△ABC沿BCC的方向平移到△DEF的位置，
∴S
△ABC
=S
△DEF
，
∴S
阴影部分
+S
△OEC
=S
梯形ABEO
+S
△OEC
，
∴S
阴影部分
=S
梯形ABEO
=×（4+6）×3=15．
故答案为15．
12．如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是50°．
【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，
∴CO=AO，∠D=∠B
由旋转角为40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=70°，
∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD=20°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，
在△AOB中，由内角和定理得∠B=180°﹣∠OAC﹣∠AOB=180°﹣70°﹣60°=50°．
∴∠D=∠B=50°
故答案为50°．
13．如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应
点Q 的坐标为（2，4）．
【解答】解：作图如右，
∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，∴∠MPO=∠QON，
在△PMO和△ONQ中，
∵，
∴△PMO≌△ONQ，
∴PM=ON，OM=QN，
∵P点坐标为（4，2），
∴Q点坐标为（2，4），
故答案为（2，4）．三．解答题（共12小题）
14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个△ABC，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，得到△DEF（A与D、B与E、C与F对应），请在方格纸中画出△DEF；
（2）在（1）的条件下，连接AE和CE ，请直接写出△ACE的面积S，并判断B是否在边AE上．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图可知，S=5×4﹣×4×1﹣×2×4﹣×2×5=20﹣2﹣4﹣5=9．
根据图形可知，点B不在AE边上．
15．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）证明：△ABE≌△C1BF；
（2）证明：EA1=FC；
（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，
∴AB=BC1=A1B=BC，∠ABE=∠C1BF，∠A=∠C1=∠A1=∠C，
在△ABE和△C1BF中，
，
∴△ABE≌△C1BF（ASA）；
（2）证明：∵△ABE≌△C1BF，∴EB=BF．
又∵A1B=CB，
∴A1B﹣EB=CB﹣BF，
∴EA1=FC；
（3）答：四边形ABC1D是菱形．
证明：∵∠A1=∠C=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，
∠A1=∠C=∠ABA1=∠CBC1．
∴AB∥C1D，AD∥BC1，
∴四边形ABC1D是平行四边形
∵AB=BC1，
∴四边形ABC1D是菱形．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示；
（2）如图，旋转中心坐标为（1.5，3）；
（3）如图所示，点P的坐标为（﹣2，0）．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（3，﹣1），C（1，﹣1）．
（1）将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，在坐标系中画出△A1B1C1，并写出点A 的对应点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A的对应点A2的坐标；（3）求（2）中点A所走过的路线长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，点A1的坐标（﹣2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所求；
（3）OA==，
点A 所走过的路线长为=．
18．如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：
（1）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；
（2）求点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点A绕着点O旋转到点A1所经过的路径长=π=4π．
19．将直角三角形ABC沿CB方向平移CF的长度后，得到直角三角形DEF．已知DG=4，CF=6，AC=10，求阴影部分的面积．
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，CF=6，
∴AD∥BE，AD=BE=6，∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED的面积=BE×AC=6×10=60．
20．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．
（1）求两个正方形重叠部分的面积；
（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
∵BO⊥AC，
∴∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S
两个正方形重叠部分
=S
△BOE
+S
△BOF
，
又S
△AOE =S
△BOF
∴S
两个正方形重叠部分
=S ABO =S正方形ABCD =×4=1；
（2）如图，
∵正方形的面积为4，
∴AD=AB=2，
∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，
∴C1F=OC1=1，AG=1
∴C1G=3，
根据勾股定理，得AC1=．
21．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∴∠C=∠AEC=75°，
∴∠CAE=180°﹣∠C﹣∠AEC=30°，
∴△ADE绕着点A逆时针旋转30°后与△ABC重合，
∴这个旋转角为30°．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2．Rt△AB′C′可以看作是由Rt △ABC绕A点逆时针方向旋转60°得到的，求线段B′C的长．
【解答】解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∴AC=AB=1，
∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，
∴AB=AB′=2，∠B′AB=60°，
∴∠EAB′=180°﹣∠B′AB﹣∠BAC=60°，
∵B′E⊥EC，
∴∠AB′E=30°，
∴AE=1，
在Rt△AB′E中，∵AE=1，AB′=2，
∴B′E==，
∴EC=AE+AC=2，
在Rt△CEB′中，∵B′E=，CE=2，
∴B′C==．
23．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．
（1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；
（2）求BC′的长．
【解答】解：（1）BC′垂直平分AB′．理由如下：
如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=，∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
而C′B′=C′A′，
∴BC′垂直平分AB′；
（2）延长BC′交AB′于D，如图，
在Rt△AC′B′中，AB′=AC′=2，
∵BC′垂直平分AB′，
∴C′D=AB=1，
∵BD为等边三角形△ABB′的高，
∴BD=AB′=，
∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．
24．如图，已知在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，B点的坐标为（4，8），将矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，点E恰好落在x轴上．
（1）求证：OA=AE；
（2）若GE交AB于点D，求AD的长；
（3）求点F的坐标．
【解答】解：（1）如图，连接BO、BE，
∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，
∴BO=BE，BA⊥OE，
∴OA=AE；
（2）∵矩形OABC绕点B逆时针旋转得到矩形EFBG，∴AE=OA=BG=90°，
在△BGD和△EAD中，
，
∴△BGD≌△EAD，
∴AD=GD，BD=ED，
设AD=x，则DE=BD=8﹣x，
∴x2+42=（8﹣x）2，
∴x=3，
即AD=3；
（3）如图，作FH⊥x轴于点H，
∵∠DAE=∠DEF=∠EHF=90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴，∴，
∴EH=，
∴FH==，OH=OE+EH=，
∴F （，）．
25．如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC 交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，
∴∠1=∠2=90°﹣∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△ACF和△DCH中
∴△ACF≌△DCH，
∴CF=CH；
（2）四边形ACDM是菱形，
证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°﹣45°=45°，
∵∠A=∠D=45°，
∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，
同理∠D+∠ACD=180°，
∴AM∥DC，AC∥DM，
∴四边形ACDM是平行四边形，
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形．。