苏教版数学高二-2016版高中数学苏教版选修2-1导学案 椭圆的几何性质

2.2.2椭圆的几何性质

课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．

椭圆的简单几何性质

焦点的

位置

焦点在x轴上焦点在y轴上

图形

标准

方程

范围

顶点

轴长短轴长＝______，长轴长＝______

焦点

焦距

对称性对称轴是________，对称中心是______

离心率

一、填空题

1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．

2．P是长轴在x轴上的椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为

c，则PF1·PF2的最大值与最小值之差为________．

3．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为______________．5．如图所示，A、B、C分别

为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为________．

6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→

＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是____________．

7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5

5

，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．

8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率

为________________________________________________________． 二、解答题

9．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标． 10.

如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆

中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2

c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，

HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .

能力提升

11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________． 12.已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a>b>0)的左、右两个焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一

点，点B 也在椭圆上，且满足OA →＋OB →

＝0(O 是坐标原点)，AF 2⊥F 1F 2.若椭圆的离心率等于22，

△ABF 2的面积等于42，求椭圆的方程．

1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．

2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．

3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0

2．2.2椭圆的几何性质

知识梳理

焦点的 位置

焦点在x 轴上 焦点在y 轴上

图形

标准 方程 x 2a 2＋y 2

b 2

＝1 y 2a 2＋x 2

b 2

＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a

顶点 (±a,0)，(0，±b)

(±b,0)，(0，±a)

轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点 (±c,0)

(0，±c)

焦距 2c ＝2a 2－b 2

对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点

离心率

e ＝c

a

，0

解析 由题意可得2 1m ＝2×2，解得m ＝1

4

. 2．c 2

解析 由椭圆的几何性质得PF 1∈[a －c ，a ＋c]，PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 1·PF 2≤

⎝ ⎛⎭

⎪⎫PF 1＋PF 222＝a 2

，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． PF 1·PF 2＝PF 1(2a －PF 1)＝－PF 21＋2aPF 1 ＝－(PF 1－a)2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，

所以PF 1·PF 2最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2. 3.

2

2

或2－1 解析 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a

＝

c

b 2＋

c 2

＝

c 2c ＝22

；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，