高考文科数学复习 专题19 不等式选讲(教师版)

专题19 不等式选讲

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）3

3

3

()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有

222111

ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++．

所以

222111

a b c a b c

++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有

3333333()()()3()()()a b b c c a a b b c a c +++++≥+++ =3(+)(+)(+)a b b c a c

3))(2)ab bc ac ≥⨯⨯⨯

=24．

所以3

3

3

()()()24a b b c c a +++++≥．

【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞

【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．

当1x <时，2

()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．

所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．

当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．

【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．

（1）求222

(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；

（2）若2

2

2

1

(2)(1)()3

x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）

43

；（2）见详解． 【解析】（1）由于2

[(1)(1)(1)]x y z -++++

222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-

222

3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，

故由已知得222

4

(1)(1)(1)3

x y z -++++≥， 当且仅当x =

53，y =–13，1

3

z =-时等号成立． 所以222

(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43

．

（2）由于2

[(2)(1)()]x y z a -+-+-

222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--

222

3(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，

故由已知22

2

2

(2)(2)(1)()3

a x y z a +-+-+-≥，

当且仅当43a x -=

，13a y -=，22

3

a z -=时等号成立． 因此2

2

2

(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2

(2)3a +．

由题设知2(2)1

33

a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．

【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1

{|1}3

x x x <->或．

【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13

-

； 当0≤x ≤

1

2

时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >

1

2

时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3

x x x <->或．

【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1{|}2

x x >；（2）(0,2]．

【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪

=-<<⎨⎪≥⎩

故不等式()1f x >的解集为1{|}2

x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．

若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2

1a

≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．

6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．

【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．

【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪

=-<≤⎨⎪-+>⎩

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．