高中数学_二项式系数的性质课件_北师大版选修2-3
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一
一
在欧洲，这个表被认为是法 一 二 一 国数学家帕斯卡(1623年— 1662年）首先发现的 一 三 三 一 杨辉三角的发现要比 一 四 六 四 一 欧洲早五百年左右， 一 五 十 十 五 一 由此可见我国古代数 学的成就是非常值得 一 六 十五 二十 十五 六 一 中华民族自豪的．
一
性质1：对称性
1、二项式定理：
( a + b) = C a + C a b + + C a
2、通项公式：
r n n- r r
n
0 n
n
1 n- 1 n
r n
n- r r
b + + C b
n n n
Tr + 1 = C a b , (r = 0,1, 2, n) r 其中 C n 叫作二项式系数
3、说出(a+b)10的展开式中各项的二项式系数：
C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C
0 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
（a+b)n展开式的二项式系数Cnr，当n依次取1，2，3， …时，如下所示：
( a + b ) … … … … … … … … …1 (a+b) ………………… (a+b) ………………
2.若( 2 x
3 ) 4 a 0 a1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a 4 x 4 ,
则( a 0 a 2 a 4 ) 2 ( a1 a 3 ) 2的 值 为 ） ( A A. 1 B . 1 C . 0 D . 2
3 4 C7 T5系数 C 7 ( 2)4 1 1 6 6 C7 4 T7系数 C 7 ( 2)
4 T5 C 7 ( 2 y )4 x 3 560x 3 y 4 所以系数最大的项是第五项
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 先增后减
n 2 n1 2 n1 2
性质2：增减性与最大值
当n是偶数时，中间的一项二项式系数 C n 取得最大值 ；
当n是奇数时，中间的两项二项式系数 Cn 和
Cn
相等，且同时取得最大值．
性质3：各二项式系数的和
0 2 4 1 3 5 C n C n C n C n C n C n 2 n 1
C C
m n
n m n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值 先增后减
当n是偶数时，中间的一项二项式系数 n C 2 取得最大值 ；
n
1 1 3 2
1 1 3 1
1
当n1 是奇数时，中间的两项二项式系数 n n1 2 Cn 和 Cn 2 相等，且同时取得最 大值．
1
1 1 6 5
2、化简 (2x+1)5-5 (2x+1)4+10 (2x+1)3-10 (2x+1)2+5 (2x+1)-1= . 3、求(a+b+c)10的展开式经合并同类项后的项数 66
32x
5
4.若(1 2 x )8 a0 a1 x a 2 x 2 a8 x 8 ,
8 则 | a0 | | a1 | | a 2 | | a8 |
3
45 x 1 5 5、 (x 1) 展开式中的含 项是 x x
（1）求(x+2y)7展开式中系数最大的项
（2）求(x-2y)7展开式中系数最大的项
（2）展开式中共有8项，系数最大必为正项，即在 第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y)7括号 内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大必在中间或偏右， 故只需要比较T5和 T7两项系数大小即可．
4
10 15
6
10
4
5
1
1 6 1
性质3：各二项式系数的和
20 15
0 2 4 1 3 5 C n C n C n C n C n C n 2 n 1
1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ C ）
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
3、已知
x 1
4
求第五项。
x3
n
的展开式中只有第10项系数最大，
n 1 10, n 18, 解：依题意，n为偶数， 2 4 且 T5 3060x
(2) n
1 2 3 n 1 、化简 3C n 9C n 27C n ( 1)n 3n C n 1
3 2 1
1 2 1 3 1
1 3
Hale Waihona Puke Baidu
C
1
5 6 1 1
1
(a+b) ……………
(a+b) ……………1
6 5
4
1
5
4
10
6
4
10 15
C
r n
(a+b) …………1 6 15 ………………………
20
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨 辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出 现了，在这本书里，记载着类似下面的表： 这个表称为杨辉三角
一
在欧洲，这个表被认为是法 一 二 一 国数学家帕斯卡(1623年— 1662年）首先发现的 一 三 三 一 杨辉三角的发现要比 一 四 六 四 一 欧洲早五百年左右， 一 五 十 十 五 一 由此可见我国古代数 学的成就是非常值得 一 六 十五 二十 十五 六 一 中华民族自豪的．
一
性质1：对称性
1、二项式定理：
( a + b) = C a + C a b + + C a
2、通项公式：
r n n- r r
n
0 n
n
1 n- 1 n
r n
n- r r
b + + C b
n n n
Tr + 1 = C a b , (r = 0,1, 2, n) r 其中 C n 叫作二项式系数
3、说出(a+b)10的展开式中各项的二项式系数：
C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C ,C
0 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
（a+b)n展开式的二项式系数Cnr，当n依次取1，2，3， …时，如下所示：
( a + b ) … … … … … … … … …1 (a+b) ………………… (a+b) ………………
2.若( 2 x
3 ) 4 a 0 a1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a 4 x 4 ,
则( a 0 a 2 a 4 ) 2 ( a1 a 3 ) 2的 值 为 ） ( A A. 1 B . 1 C . 0 D . 2
3 4 C7 T5系数 C 7 ( 2)4 1 1 6 6 C7 4 T7系数 C 7 ( 2)
4 T5 C 7 ( 2 y )4 x 3 560x 3 y 4 所以系数最大的项是第五项
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 先增后减
n 2 n1 2 n1 2
性质2：增减性与最大值
当n是偶数时，中间的一项二项式系数 C n 取得最大值 ；
当n是奇数时，中间的两项二项式系数 Cn 和
Cn
相等，且同时取得最大值．
性质3：各二项式系数的和
0 2 4 1 3 5 C n C n C n C n C n C n 2 n 1
C C
m n
n m n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值 先增后减
当n是偶数时，中间的一项二项式系数 n C 2 取得最大值 ；
n
1 1 3 2
1 1 3 1
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当n1 是奇数时，中间的两项二项式系数 n n1 2 Cn 和 Cn 2 相等，且同时取得最 大值．
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1 1 6 5
2、化简 (2x+1)5-5 (2x+1)4+10 (2x+1)3-10 (2x+1)2+5 (2x+1)-1= . 3、求(a+b+c)10的展开式经合并同类项后的项数 66
32x
5
4.若(1 2 x )8 a0 a1 x a 2 x 2 a8 x 8 ,
8 则 | a0 | | a1 | | a 2 | | a8 |
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45 x 1 5 5、 (x 1) 展开式中的含 项是 x x
（1）求(x+2y)7展开式中系数最大的项
（2）求(x-2y)7展开式中系数最大的项
（2）展开式中共有8项，系数最大必为正项，即在 第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y)7括号 内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大必在中间或偏右， 故只需要比较T5和 T7两项系数大小即可．
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10 15
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性质3：各二项式系数的和
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0 2 4 1 3 5 C n C n C n C n C n C n 2 n 1
1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ C ）
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
3、已知
x 1
4
求第五项。
x3
n
的展开式中只有第10项系数最大，
n 1 10, n 18, 解：依题意，n为偶数， 2 4 且 T5 3060x
(2) n
1 2 3 n 1 、化简 3C n 9C n 27C n ( 1)n 3n C n 1
3 2 1
1 2 1 3 1
1 3
Hale Waihona Puke Baidu
C
1
5 6 1 1
1
(a+b) ……………
(a+b) ……………1
6 5
4
1
5
4
10
6
4
10 15
C
r n
(a+b) …………1 6 15 ………………………
20
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨 辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出 现了，在这本书里，记载着类似下面的表： 这个表称为杨辉三角