数学建模的命题与解题思路解析课件
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9
数据分析做得比较深入的同学，会发现一 条隐含在数据中的关键信息：术前住院时 间过长是当前病床使用效率不高的主要因 素。这样一个关键信息的获得，会使得建 模更有方向感。
10
第一问
● 主要考核对问题的考虑是否全面，对问题实质的理解是 否到位。评价指标分两类：效率指标和公平性指标。 两类指标可以有各种不同的定义，其合理性是评分依据。
4
与我国庞大的人口总量相比较，好的医院 与好的医生目前还是一种稀缺资源，题目 中提到的医院住院排队现象及其严重程度 是确实存在的，本问题提出的初衷，就是 要得到对现有的病床安排FCFS方案的一个 现实、合理的改进方案，所以，能得到最 优解固然好，否则得到一个实用效果令人 满意的可行解，也是可以的。
● 效率指标——平均术前住院时间，或病床有效利用率。 非外伤病人入院第2日（白内障）或第3日（其他眼病） 后等待手术的时间称为病床无效时间，病床有效利用率 定义为 病床有效利用率 = 1 - 病床无效时间 / 该病人住院时间
11
● 公平性指标——从公平性考虑，希望尽量做到FCFS （First come, First serve）,公平度具体如何确定， 是一个小考点。这个指标必须考虑，否则会出现尽量收 白内障病人入院，以改善效率指标的现象。 一种比较具操作性的指标是用“延期住院”病人人数占 总出院人数的比例来度量不公平度。 注意到，上述公平度只考虑了“延期日子”，而没有将 “插队人数”度量在内，对此可以有不同的理解与定义， 不必苛求一致。
17
设当前时刻为T0，当前排队人数为P，预计 住院时刻为T，该类病人每日出院人数的统计平均值为α，
则
பைடு நூலகம்
T
T0
P 1
1
设一个已出院病人实际住院时刻为T1，通过仿真统计
由所给数据可以看出，病人术前住院时间是确定的，依 入院时间而定，所以病人住院时间中只有术后住院时间 是随机的，要做拟合检验的也是这一部分时间分布。
各类病人术后住院时间分别服从正态分布 、Г分布 或埃 尔朗分布，由于检验方法或检验细节处理不相同，可能 得到以上不同的分布，这是允许的，但若得出服从负指 数分布的结论，则是错误的。也有一些同学不做拟合分 布检验，而是画出直方图，然后以此经验分布作仿真依 据，这样处理也是可以的。
5
主要考点：
1. 分布拟合检验； 2. 合理的评价指标体系； 3. 仿真方法应用； 4. 满足一定置信度的统计预测模型的建立； 5. 排队论优化模型的建立。
6
评阅原则
本题解题方法比较多，结果也未必一致， 评阅时主要以解题过程中体现出的对问题的 理解程度与建模能力为依据。
7
解题 思路
数据分析与检验
12
第二问
本问主要考核能否给出一个相对合理的病床 安排模型，主要目标为：提高病床有效利用率 以及提高公平度。
就提高病床有效利用率而言，病人术后住 院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前 等待时间上作文章。经对题目所给数据的分析 可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为 提高效率的必然选择。
13
本问主要解决方法是仿真方法，大致可分为 “先仿真，再优化”与“边仿真，边优化”两 类，前者是先确定若干种住院规则，然后根据 仿真统计结果选出较优规则；后者是先确定一 个优化原则，然后在仿真时，对每一个排队病 人按照该优化原则决定住院先后。显然后者要 更好一些。
14
一种比较典型的仿真优化方法是：对每一位等待 入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达 先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 序结果安排当日入院病人，由此得到公平合理的 住院方案。按此方案进行仿真，再统计各项评价 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。
“眼科病床的合理安排” 命题、解析及论文点评
1
目录
命题思路
论文点评 综合评述
2
命题 思路
来自于人们司空见惯的日常生活现象—医院住 院排队现象—的一道题目，问题本身非常浅显 明白，专业门槛低，但解决问题中却涉及较深 刻的排队论理论问题，当无法通过理论方法获 得最优解时，可以通过仿真优化方法获得实用 效果令人满意的可行解，以上构成该道题目的 特点。
15
值得一提的是，解法的多样性在本问题求解中得到了较 充分的体现，例如有的参赛队引入了计算机操作系统进 程调度中的最佳响应比算法，使公平性与效率同时得到 了体现，是一种好的创意。
本问中存在的主要问题是公平性考虑不足，有的队甚至 完全不考虑公平性，未免过于脱离实际，而脱离实际是 建模最大的忌讳。还有较普遍存在的问题是主要优化目 标不清晰，罗列了一堆目标，却未抓住提高病床使用效 率这个要害，其根源还是对题目的理解以及对数据的分 析不够透彻。
3
这一类以排队论及仿真优化方法为主要解决 方法的题目，在CUMCM的历年竞赛题目中， 还不多见。而这一类随机服务系统优化的问 题，在现实实际中却是大量存在的，因此， 在以反映现实生活中的数学建模问题为己任 的大学生数学建模竞赛中，出现这一类题目， 也是很自然的事情，MCM中如04年B题“游 乐场快速通道问题”，05年B题“高速公路收 费站问题”，就是两个这类问题的实例。
在着手解决问题前首先应对所给数据进行分析， 从中获得对解题有用的信息，这是一种基本素质， 是一种具有良好工程素养的表现。在本问题中， 这一过程尤其重要，因为如果对病人到达规律及 病人住院时间规律都不了解，问题症结就抓不准， 解题将缺乏方向感，仿真计算就更无法进行了。
8
在本题所给数据中，各类病人到达人数分别服从不同参 数的Poisson分布，需要进行分布拟合检验及分布参数 提取。
16
第三问
此问希望学生给出一个满足一定置信度（例如： 90%）的预约住院时间区间，区间长度越短越好。
一种自然的想法是通过同类病人术后住院时间的概 率分布从理论上得到这一区间，如果能通过此种理论 方法解决此问题，自然是最理想的。 但这样做的一个 困难是已处于术后住院状态的该类病人的继续住院时 间不服从同一分布，从而将该类病人（含已住院与未 住院）的预计住院时间求和后的随机变量的分布不知 道。
数据分析做得比较深入的同学，会发现一 条隐含在数据中的关键信息：术前住院时 间过长是当前病床使用效率不高的主要因 素。这样一个关键信息的获得，会使得建 模更有方向感。
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第一问
● 主要考核对问题的考虑是否全面，对问题实质的理解是 否到位。评价指标分两类：效率指标和公平性指标。 两类指标可以有各种不同的定义，其合理性是评分依据。
4
与我国庞大的人口总量相比较，好的医院 与好的医生目前还是一种稀缺资源，题目 中提到的医院住院排队现象及其严重程度 是确实存在的，本问题提出的初衷，就是 要得到对现有的病床安排FCFS方案的一个 现实、合理的改进方案，所以，能得到最 优解固然好，否则得到一个实用效果令人 满意的可行解，也是可以的。
● 效率指标——平均术前住院时间，或病床有效利用率。 非外伤病人入院第2日（白内障）或第3日（其他眼病） 后等待手术的时间称为病床无效时间，病床有效利用率 定义为 病床有效利用率 = 1 - 病床无效时间 / 该病人住院时间
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● 公平性指标——从公平性考虑，希望尽量做到FCFS （First come, First serve）,公平度具体如何确定， 是一个小考点。这个指标必须考虑，否则会出现尽量收 白内障病人入院，以改善效率指标的现象。 一种比较具操作性的指标是用“延期住院”病人人数占 总出院人数的比例来度量不公平度。 注意到，上述公平度只考虑了“延期日子”，而没有将 “插队人数”度量在内，对此可以有不同的理解与定义， 不必苛求一致。
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设当前时刻为T0，当前排队人数为P，预计 住院时刻为T，该类病人每日出院人数的统计平均值为α，
则
பைடு நூலகம்
T
T0
P 1
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设一个已出院病人实际住院时刻为T1，通过仿真统计
由所给数据可以看出，病人术前住院时间是确定的，依 入院时间而定，所以病人住院时间中只有术后住院时间 是随机的，要做拟合检验的也是这一部分时间分布。
各类病人术后住院时间分别服从正态分布 、Г分布 或埃 尔朗分布，由于检验方法或检验细节处理不相同，可能 得到以上不同的分布，这是允许的，但若得出服从负指 数分布的结论，则是错误的。也有一些同学不做拟合分 布检验，而是画出直方图，然后以此经验分布作仿真依 据，这样处理也是可以的。
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主要考点：
1. 分布拟合检验； 2. 合理的评价指标体系； 3. 仿真方法应用； 4. 满足一定置信度的统计预测模型的建立； 5. 排队论优化模型的建立。
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评阅原则
本题解题方法比较多，结果也未必一致， 评阅时主要以解题过程中体现出的对问题的 理解程度与建模能力为依据。
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解题 思路
数据分析与检验
12
第二问
本问主要考核能否给出一个相对合理的病床 安排模型，主要目标为：提高病床有效利用率 以及提高公平度。
就提高病床有效利用率而言，病人术后住 院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前 等待时间上作文章。经对题目所给数据的分析 可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为 提高效率的必然选择。
13
本问主要解决方法是仿真方法，大致可分为 “先仿真，再优化”与“边仿真，边优化”两 类，前者是先确定若干种住院规则，然后根据 仿真统计结果选出较优规则；后者是先确定一 个优化原则，然后在仿真时，对每一个排队病 人按照该优化原则决定住院先后。显然后者要 更好一些。
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一种比较典型的仿真优化方法是：对每一位等待 入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达 先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 序结果安排当日入院病人，由此得到公平合理的 住院方案。按此方案进行仿真，再统计各项评价 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。
“眼科病床的合理安排” 命题、解析及论文点评
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目录
命题思路
论文点评 综合评述
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命题 思路
来自于人们司空见惯的日常生活现象—医院住 院排队现象—的一道题目，问题本身非常浅显 明白，专业门槛低，但解决问题中却涉及较深 刻的排队论理论问题，当无法通过理论方法获 得最优解时，可以通过仿真优化方法获得实用 效果令人满意的可行解，以上构成该道题目的 特点。
15
值得一提的是，解法的多样性在本问题求解中得到了较 充分的体现，例如有的参赛队引入了计算机操作系统进 程调度中的最佳响应比算法，使公平性与效率同时得到 了体现，是一种好的创意。
本问中存在的主要问题是公平性考虑不足，有的队甚至 完全不考虑公平性，未免过于脱离实际，而脱离实际是 建模最大的忌讳。还有较普遍存在的问题是主要优化目 标不清晰，罗列了一堆目标，却未抓住提高病床使用效 率这个要害，其根源还是对题目的理解以及对数据的分 析不够透彻。
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这一类以排队论及仿真优化方法为主要解决 方法的题目，在CUMCM的历年竞赛题目中， 还不多见。而这一类随机服务系统优化的问 题，在现实实际中却是大量存在的，因此， 在以反映现实生活中的数学建模问题为己任 的大学生数学建模竞赛中，出现这一类题目， 也是很自然的事情，MCM中如04年B题“游 乐场快速通道问题”，05年B题“高速公路收 费站问题”，就是两个这类问题的实例。
在着手解决问题前首先应对所给数据进行分析， 从中获得对解题有用的信息，这是一种基本素质， 是一种具有良好工程素养的表现。在本问题中， 这一过程尤其重要，因为如果对病人到达规律及 病人住院时间规律都不了解，问题症结就抓不准， 解题将缺乏方向感，仿真计算就更无法进行了。
8
在本题所给数据中，各类病人到达人数分别服从不同参 数的Poisson分布，需要进行分布拟合检验及分布参数 提取。
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第三问
此问希望学生给出一个满足一定置信度（例如： 90%）的预约住院时间区间，区间长度越短越好。
一种自然的想法是通过同类病人术后住院时间的概 率分布从理论上得到这一区间，如果能通过此种理论 方法解决此问题，自然是最理想的。 但这样做的一个 困难是已处于术后住院状态的该类病人的继续住院时 间不服从同一分布，从而将该类病人（含已住院与未 住院）的预计住院时间求和后的随机变量的分布不知 道。