王振发版分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程

： 则
OA
OA
vA(Rr)
行星轮瞬心为P， 角速度为
AvrA
(Rr)
r
∴系统的动能为
vA
Ⅰ A
r
M
RO
P
Ⅱ
T = TOA+ T轮
1 2
JO2
12m2vA2
12JAA2
1213m1(Rr)221 2m2(Rr)2 21 21 2m2r2Rrr2 2
112 (2m19m2)R (r)2 2
又关于广义坐标的广义力为
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
例2 质量为m的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端 绕在半径为R的固定圆柱上。设在平衡位置时，线的下垂 部分长度为l。求此摆的运动微分方程。
R O
l
m
解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标，
系统的动能为 T1m(lR)22
2 选=0处为系统势能的零势点，则
R
O
V = mg[（l+Rsin）－（l＋R）cos]
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m ，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v
，锥摆的顶角为2φ，摆锤 M 受力如图。
其加速度为
a an v2
l sin
令 R=P+T
φ l T
an
则 ma = R = P + T
摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体
M v
P
（地心和绳子）一对应的反作用力，
反作用力的合力为
解得
a((22m m11m m22))rr22si2nJ g
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
m
j &x&j
Fxj
k i1
i
fi x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
Fzj
i1
n
或 (Fi miai)δri 0 i1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 F iX iiY ijZ ik, ai x ii y ij z ik,
rixiiyijzik,
则动力学普遍方程的坐标分解式为
对式
Qk
n
i1
mi ri qrik
0
中广义惯性力进行变换：
Q ki n 1m i& r & i q r iki n 1m id d t v i q r ik i n 1m iv id d t q r ik
m id d v ti q r ik m id d v it q r ik m iv id d t q r ik mi r i qrik mivi ddtqrik
k i1
i
fi z j
n个质点的系统受到k 个如 下形式的完整约束fi ,又若系统中 质量为mj的第j个质点受主动力 Fj，则系统的运动满足3n个方程
如左，称为第一类拉格朗日方 程，λi称为拉各朗日未定乘子。
*第一类拉格朗日方程用到的较少
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家 、 力学家、天文学家 ， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
i1
k1
n
n
Fiδri miaiδri
i1
i1
kN 1Qk in1mi r i qrik
δqk
0
因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标 的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有
Qk
n
i1
mir i qrik
0
(k =1，2，……，N)
广义力
以广义坐标表示的达朗伯原理
广义惯性力
则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为
d dtq Lkq Lk 0 (k1,2,,N) 若作用于质点系的主动力为有势力及非有势力两部分构成时
Qk
V qk
Qk
d dt q L k q L kQ k (k1,2,,N)
用拉格朗日方程的意义
1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题 的普遍方程，是分析力学中的重要方程。
i n 1m id d v ti q r i k i n 1m i r i q r i k i n 1m iv id d tq r i k
将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46）（q k 广义速度
ri r&i
） 代入第一项中的括号内
q k q&k
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t) 对上式求变分得
δri q ri1δq 1 q ri2δq 2 q r N i δq N r tiδt
系统的动势为
l
LTV
1 m (l R)2 2 m [l (g R si) n (l R)co ] s 2
m
m
L m(l R)2,
d d t L 2m(lR R ) 2m (lR )2
Lm(lR R ) 2m(lg R )sin
已求得
d d t L 2m(lR R ) 2m (lR )2 Lm(lR R ) 2m(lg R )sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
ddtLL0
得摆的运动微分方程
(lR ) R 2gsin 0
例3 已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质量为 m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。求 三棱柱的加速度。
对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质 点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式 上的平衡力系。
即 ∑Fi + ∑ FNi +∑Fgi=0 或∑MO(Fi) + ∑ MO( FNi ) +∑ MO( Fgi ) =0
质点系的 达朗伯原理
1 .动力学普遍方程
动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物 。
若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）
则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式
Qk
V qk
于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
d d t q T k q T k q V k, (k1,2,,N)
用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即 L = T－V
L称为拉格朗日函数或动势。 LLqk,q k,t
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
第二章 动力学普遍方程和拉各 朗日方程
1.动力学普遍方程 2.拉格朗日方程 3.动能的广义速度表达式 4.拉格朗日方程的初积分 5.碰撞问题的拉格朗日方程 6.拉格朗日方程的应用举例
引言1：非自由质点系的动力学问题
K
φ1 φ2
多杆摆问题
摆长不定，如何确定 其摆动规律？
混沌摆问题
引言2：惯性力的概念
Q
WF
M
M
代入Lagrange方程：
d dt
T
&
T
Q
vA
Ⅰ A
r M
RO
Ⅱ
Q T & 112(2m 19m 2)(Rr)22& , d dt T& 1 6(2m 19m2)(Rr)2& &
T 0
于是得
∴ 1 6(2m19m2)(Rr)2& & M OA (2m196m M 2)R (r)2
引言3：达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
设质点M的质量为m，受力有主动力F 、
M Fg
约束反力FN，加m速a度=为F+aF，N 则根据牛顿
第二定令律Fg，=－有ma
FN
a F
则 F+FN+Fg = 0
形式上的平衡方程
结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性 力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理。
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
n
(Fi Fgi)δri 0
d d t q & ki n1 1 2m ivi2 qki n1 1 2m ivi2 i n1mi& r& iqrik ddtqT & kqkT
得到 d dt q T & k q TkQ k, (k1,2,L,N)
这就是第二类拉格朗日方程，是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分 方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
n
X i m i x ix i Y i m i y iy i Z i m i z izi 0
i 1
例1. 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为 J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为α的斜面上纯滚动 。求连杆的加速度。
α
解：研究整个系统，进行受力分析；
设杆的加速度为a，则
达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的 达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题） ；
约翰·伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理 （建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中 的平衡问题）；
拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广 到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程， 进一步导出了拉格朗日方程。
2.动力学：对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以
根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组 独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方 程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。
用拉格朗日方程解题的步骤
1.确定系统的自由度数（广义坐标数）； 2.选广义坐标； 3.计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能； 4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；
a
Mg
Fg1
Fg1= m1a， Fg2= m2a，
Mg
J
J
a, r
Mg
Fg2 Fg1
m2g
m1g
给连杆以平行于斜面向下
m1g
N2
的虚位移s，则相应地两 s
轮有转角虚位移，且
α
s
N1
rБайду номын сангаас
根据动力学普 遍方程，得:
于是
(2m 1m 2)gsins(2Fg1Fg2)s 2Mg0 (2m 1m 2)gsins(2m 1m 2)as2Jarrs0
d dt
ri qk
r&i qk
代入第二项中的括号内
得 所以
n
i 1
m i& r & i q r ik i n 1m id d t v i q v & k i i n 1m iv i q v k i
d dti n1 m ivi q v & k i qk i n1 1 2m ivivi
5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程 。
例1 位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细杆 OA，可绕O轴转动，另一端装有质量为m2、半径为r的均质 小齿轮，小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当细杆
受力偶M的作用时，求细杆的角加速度 O A
。
Ⅰ A
r
M
R O
Ⅱ
解 研究整个系统，选广义坐标，
2.拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是 用广义坐标表示的运动微分方程。
3.拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能； 对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。
用拉格朗日方程概述
1.静力学：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚
位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平 衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约 束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk