最速降线验证实验
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曲线 直线 圆弧 抛物线 摆线 耗时 T1=0.638877 T2=0.585120 T3=0.583778 T4=0.583203
可见，确实是摆线耗时最短， 但抛物线也几乎相同.
0.63
0.62
0.61
0.2 0.59 0.4 0.6 0.8 1
a=0.913034时 ，耗时最少：T3=0.583778
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
x 0.5729(t - sint ) y 0.5729(1 - cost )
耗时：T4=0.583203
结果比较
1.5 0.5975 0.595 0.5925 0.59 0.5875 0.585 2 2.5 3
r=1.33136时 ，耗时最少：T2=0.58512
（3）C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为 x=ay2+(1a)y ， (0≤y≤ 1) 其中，参数a: 0≤a≤1.
此时T是a的函数
0.64
• • • • （1）C为直线 （2）C为圆弧 （3）C为抛物线 （4）C为摆线
（1）C为直线
过点O 与点B 的直线方程为 x=y (0≤y≤1) 耗用时间为:
T1
C
ds 2dy 1 2 gy 0 2 gy g
1
0
1
dy y
1 2 2 y 0.638877 0 g g
最速降线的验证实验
问题描述
一个在点O(0,0)静止
的质点在重力作用下， 该沿什么轨迹曲线C无
A(x,y) C
O(0,0)
x
摩擦地从点O(0,0)滑到
点B(1,1), 才能使所花
y
B(1,1)
图1 质点沿曲线C下降
时间T短？
耗用时间的计算
用曲线积分
ds ds T v 2 gy C C
试比较几种不同的曲线
Hale Waihona Puke Baidu （2）C为圆弧
过点O与点B的圆弧方程为
x a r 2 ( y b) 2 , (0 y 1)
其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径且 r≥1。因为圆心必在直线段OB的垂直
平分线上，故推得a+b=1,进而得：
a 1 2r 2 1 1 , b 2 2r 2 1 2
此时T是r的函数
可见，确实是摆线耗时最短， 但抛物线也几乎相同.
0.63
0.62
0.61
0.2 0.59 0.4 0.6 0.8 1
a=0.913034时 ，耗时最少：T3=0.583778
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
x 0.5729(t - sint ) y 0.5729(1 - cost )
耗时：T4=0.583203
结果比较
1.5 0.5975 0.595 0.5925 0.59 0.5875 0.585 2 2.5 3
r=1.33136时 ，耗时最少：T2=0.58512
（3）C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为 x=ay2+(1a)y ， (0≤y≤ 1) 其中，参数a: 0≤a≤1.
此时T是a的函数
0.64
• • • • （1）C为直线 （2）C为圆弧 （3）C为抛物线 （4）C为摆线
（1）C为直线
过点O 与点B 的直线方程为 x=y (0≤y≤1) 耗用时间为:
T1
C
ds 2dy 1 2 gy 0 2 gy g
1
0
1
dy y
1 2 2 y 0.638877 0 g g
最速降线的验证实验
问题描述
一个在点O(0,0)静止
的质点在重力作用下， 该沿什么轨迹曲线C无
A(x,y) C
O(0,0)
x
摩擦地从点O(0,0)滑到
点B(1,1), 才能使所花
y
B(1,1)
图1 质点沿曲线C下降
时间T短？
耗用时间的计算
用曲线积分
ds ds T v 2 gy C C
试比较几种不同的曲线
Hale Waihona Puke Baidu （2）C为圆弧
过点O与点B的圆弧方程为
x a r 2 ( y b) 2 , (0 y 1)
其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径且 r≥1。因为圆心必在直线段OB的垂直
平分线上，故推得a+b=1,进而得：
a 1 2r 2 1 1 , b 2 2r 2 1 2
此时T是r的函数