哈工大离散数学教科书习题答案

教材习题解答

第一章 集合及其运算

8P 习题

3. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

解：2210x x ++=的根为1x =-，故所求集合为{1}- 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假

a)对每个集A ，A φ∈；b)对每个集A ，A φ⊆； c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈；l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n){}φφ=；

o){}φ中没有任何元素；p)若A B ⊆，则22A B ⊆

q)对任何集A ，{|}A x x A =∈；r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈；t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n 个集合12,,

,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆

⊆⊆，试证： 12n A A A ==

=

证明：由1241n A A A A A ⊆⊆⊆⊆⊆，可得12A A ⊆且21A A ⊆，故12A A =。 同理可得：134n A A A A ====

因此123n A A A A ===

=

6.设{,{}}S φφ=，试求2S ？

解：2{,{},{{}},{,{}}}S φφφφφ=

7.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

证明：（1）当n ＝0时，0,2{},212S S S φφ====，命题成立。

（2）假设当(0,)n k k k N =≥∈时命题成立，即22S k =（S k =时）。那么对于1S ∀（11S k =+），12S 中的元素可分为两类，一类为不包含1S 中某一元素x 的集合，另一类为包含x 的集合。显然，这两类元素个数均为2k 。因而1122S k +=，亦即命题在1n k =+时也成立。 由（1）、（2），可证得命题在n N ∈时均成立。

16P 习题

1.设A 、B 是集合，证明:

(\)

()\A B B A B B B φ=⇔=

证：⇐当B φ=时，显然(\)()\A B B A B B =，得证。

⇒假设B φ≠，则必存在x B ∈，使得(\)x A B B ∈但()\x A B B ∈，故

(\)()\A B B A B B ≠与题设矛盾。所以假设不成立，故B φ=。

2.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆

证：⇒显然。

⇐反证法：假设A φ≠，则0x A ∃∈，若0x B ∈，则0x ∈左，但0x ∉右，矛盾。 若0x B ∈，则0x ∈左，但0x ∈右，矛盾。故假设不成立，即A φ=。 3. 设A ，B ，C 是集合，证明：

()()A B C A B C ∆∆=∆∆

证：()[(\)(\)][()()]C C A B C A B B A C A B B A C ∆∆=∆=∆

[()()\](\(()()))

()()((()()))

C C C C C

C

C

C

C

C

A B B A C C A B B

A A B

C B

A

C C

A

B B A ==

()()((()()))C C C C C C A B C B

A C C

A B A B =

()()()()C C C C C C A B C A B C A B C A B C =

由上式可以看出此展开式与A 、B 、C 的运算顺序无关，因此，

()()A B C A B C ∆∆=∆∆

4.设A ，B ，C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =

证：因为\()()C C

C A B C A B C A B C === ()\C A B C = (\)\A B C 。

5.设A ，B ，C 为集合，证明：

()\(\)(\)A B C A C B C =

证：()\()()()C C C A B C A B C A C B C ==＝(\)(\)A C B C 。 6.设A ，B ，C 为集合，证明：

()\(\)(\)A B C A C B C =

证明：()\()C C A B C A B C A B C ===()()C C A C B C =(\)(\)A C B C

7.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。

证：证1： x B ∀∈，则

若x A ∈，则()x A B ∈。由于A B A C =，故()x A C ∈，即x C ∈；

若x A ∈，则()x A B ∈，由于A B A C =，故x A C ∈。又x A ∈，只能有x C ∈。因此，x B ∀∈，总有x C ∈，故B C ⊆。

同理可证，C B ⊆。 因此B C =。

证2： ()()()()B B A B B A C B A B C ===

()()()()C

A B C C A B C A C C ====

8.设A ，B ，C 为集合，试证：

(\)\(\)\(\)A B C A B C B =

证：证Ⅰ(\)\x A B C ∀∈，有,,x A x B x C ∈∈∈，因此，(\)x A B ∈，(\)x C B ∈。故(\)\(\)x A B C B ∈，即(\)\A B C ⊆(\)\(\)A B C B 。