1单自由度系统的自由振动

1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
m d x dt
2
2 2
k x＝0
这一方程，可以等效为广义坐标的形式
meq d q dt
2
keq q＝0
k eq－等效刚度：使系统在 广义坐标方向产生单位 位移， 需要在这一坐标方向施 加的力或力矩。 meq－等效质量：使系统在 广义坐标方向产生单位 加速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，
将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动 称为非线性振动。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。
非线性振动：相应的系统称为非线性系统。
非线性振动的叠加原理不成立。
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广 义坐标的原点。 研究振动问题所用的动力学定理： 矢量动力学基础中的－动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。 分析动力学基础中的－拉格朗日方程。
Mechanical and Structural Vibration
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
目录
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.2 计算固有频率的能量法
1.3 瑞利法 1.4 有阻尼系统的衰减振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
2 pn x
0
其中 pn
k m
固有圆频率
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x x 0， v v 0 可解
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形 st 则求出系统的固有频率
f
Mechanical and Structural Vibration
1 2π
g
st
1.1 无阻尼系统的自由振动
1 2π
k m

1 2π
k1k 2 m (k1 k 2 )
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹 簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自 由振动频率。
解：将各弹簧的刚度系数按
静力等效的原则，折算到质
k
C
F
c
k2
b a
2 2
与弹簧k1串联
得系统的等效刚度系数
k1k 2 k b a
2 2
k1 k 2
b a
2 2

k1k 2 b
2
2 2
a k1 b k 2
物块的自由振动频率为
pn
k m
b
k1k 2 m ( a k1 b k 2 )
2 2
Mechanical and Structural Vibration
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
等效的概念
meq d q dt
2 2
keq q＝0
d q dt
2
2
pn q＝0
q＝C1cospnt C2cospnt
q＝Asin pnt
pn＝
k eq meq
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
F1 k 1 st
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
st
mg k
1 st
mg k1
2 st
mg k2
1 k

1 k1

1 k2
k
k1k 2 k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
Mechanical and Structural V百度文库bration
C1 x0
C2
v0 pn
x x0 cos pn t
v0 pn
sin pn t
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
v0 2 2 ) A x0 ( pn p n x0 arctg ( ) v0
F 2 k 2 st
系统平衡方程是 F x 0
m g F1 F 2 ( k 1 k 2 ) st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。 受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。 参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 数，这种激励所引起的振动。
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
m g k st
固有圆频率
pn
k m
k
mg
st
pn
g
st
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
2π
pn 2π
m k
f
1 T

2π
k m
系统振动的圆频率为 p n 2 π f
圆频率pn 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
f、 pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为 固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。
Mechanical and Structural Vibration
量所在处。 先将刚度系数k2换算至质 量m所在处C的等效刚度系 数k。
C
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平衡的 关系，作用在B处的力为
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程 1.1.2 振幅、初相位和频率 1.1.3 等效刚度系数 1.1.4 扭转振动
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
机械与结构振动
引 言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似： 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
引 言
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
由于每根弹簧所受的拉力都等于 重力mg，故它们的静变形分别为
1 st
mg k1
2 st
C
Fa b
此力使B 弹簧 k2 产生

变形，
a b Fa k 2b
2 2
而此变形使C点发生的变形为 c
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F

k2
b a
2 2
c
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
第1章 单自由度系统的自由振动
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration
主讲 贾启芬
机械与结构振动
引 言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置
附近作往复运动。
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求
运动。
Mechanical and Structural Vibration
振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动 振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的 振动。
m ky 0 y
meq k eq＝F0 sin( t )
1.1.1 自由振动方程
取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
m g k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为
m d x dt
2
2 2
mg k ( st x)
d x
2

dt 无阻尼自由振动微分方程
m g k st
m g F1 F 2 ( k 1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k m 1 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。
运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
振动概述
振动问题的分类
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的
－系统的固有频率； A p n q0 q0
v0 2 振动的振幅； q0 p n
2
arctan
－振动的位相；q0－初始广义坐标；v0－初始速度。
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 mg 的静变形等于 st
Mechanical and Structural Vibration
k
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
系统振动的周期 系统振动的频率
T
2π pn