第二章 函数2-6幂函数与函数的图象变换

第2章 第6节
一、选择题
1．(文)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－2，－1，－12，13，12
，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上
单调递减的α值的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[答案] A
[解析] 由f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0
y ＝x －2＝1x 2是偶函数，y ＝x －12＝1
x ，在定义域(0，＋∞)上是非奇非偶函数，y ＝x －1是
奇函数，∴α＝－1，∴选A.
(理)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 1
2的图象经过的“区
域”是( )
A ．⑧，③
B ．⑦，③
C ．⑥，①
D ．⑤，①
[答案] D
2．(09·福建)下列函数中，与函数y ＝1
x
有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1
x C ．f (x )＝|x |
D ．f (x )＝e x
[答案] A [解析] ∵y ＝
1
x 的定义域为(0，＋∞)．故选A.
3．(文)(09·安徽)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 解法一：当x >b 时，y >0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿过偶次不穿可知，只有C 正确，故选C.
解法二：∵y ＝(x －a )2
(x －b )，a <b ，∴x >b 时，y >0，排除A 、B ；a <x <b 时，y <0，排除D ，故选C.
(理)(2010·山东日照一中)函数y ＝ln
1
|2x －3|
的大致图象为( )
[答案] A
[解析] 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <3
2函数为增函数，所以选A.
4．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x －4 x ≤1
x 2－4x ＋3 x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 [答案] B
[解析] 由图象易知有3个交点．
器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()
[答案] B
[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高
度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.
(理)(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()
[答案] A
[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，
它以y＝±x的其渐近线，故选A.
6．(2010·山东泰安质检)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上
是减函数，给出如下命题：
①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>1.其中正确的命题是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④
D ．①③
[答案] B
[解析] 将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象．
∵在y ＝f (x ＋1)的图象上，当x <－1时，f (x )>1，∴在y ＝f (x )的图象上，当x <0时，f (x )>1，∵y ＝f (x ＋1)的图象过点(－1,1)，∴f (0)＝1，故选B.
7．(2010·温州十校联考)函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( )
A ．2 B.23 C.13
D ．1
[答案] B
[解析] 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[1
3，1]，所以b －a
的最小值为2
3
.故选B.
8．(2010·湖南理，8)有min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－1
2
对称，则t 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
[答案] D
[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－1
2
对称，则t ＝1.
9．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.
10．(文)(2010·山东济南、芜湖十二中)函数y ＝x |x |
·a x (a >1)的图象的基本形状是( )
[答案] A
[解析] 当x >0时，y ＝a x (a >1)为增函数，当x <0时，y ＝－a x (a >1)，为减函数，故选A.
(理)(2010·山东省实验中学)设函数f (x )＝ax ＋b
x 2＋c
的图象如图，则a 、b 、c 满足( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．b >c >a
[答案] D
[解析] f (x )的图象关于y 轴对称，∴a ＝0，∵y ＝x 2＋c 在(0，＋∞)上单增，又f (x )＝b
x 2
＋c 在(0，＋∞)上单减，且f (x )定义域为R ，∴b >0，c >0，又f (0)＝b
c
>1，∴b >c ，故选D.
二、填空题
11．(文)(2010·通州市模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，则f ⎝⎛⎭⎫1
2的值为
________．
[答案] 2
[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫2，1
2，
∴1
2＝2α，∴α＝－1， ∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－1
＝2.
(理)(2010·芜湖十二中)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的
值是______．
[答案] 1
3
[解析] ∵f (x )＝x α过点⎝⎛⎭⎫
－2，－18，
∴(－2)α＝－1
8，∴α＝－3.
由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝1
3
.
12．函数y ＝x 3
与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，x 0所在区间是(a ，b )，a 、b 为相邻的整数，则a ＋b ＝______.
[答案] 3
[解析] ∵y 1＝x 3单调增，y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2单调减，当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝2，y 1<y 2；当x ＝2时，y 1＝8，y 2＝1，y 1>y 2，∴两函数图象交点坐标x 0∈(1,2)，故a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.
13．若f (x )＝ax ＋2x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．
[答案] a >1
[解析] f (x )＝ax ＋2x ＋2＝a (x ＋2)＋2(1－a )
x ＋2
＝
2(1－a )x ＋2
＋a .
∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数， ∴1－a <0，即a >1.
14．(2010·常德市调研)设P 表示使幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立的c 的集合，则P ∩Q ＝________.
[答案] (－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)
[解析] ∵幂函数y ＝xc 2
－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数，∴c 2
－5c ＋6>0， 即P ＝(－∞，2)∪(3，＋∞)，
又不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立， ∴|2c －1|>1，∴c >1或c <0， 即Q ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，
∴P ∩Q ＝(－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)． 三、解答题
15．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －1
3
5.
(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；
(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )，g (x )的对所有非零实数x 都成立的不等式，并证明．
[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －
1
3
5＝－f (x )，
所以f (x )是奇函数．
设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 13－x －1
325＝15(x 131－x 1
31)(1＋
1
x 131·x 132
)，
因为x 131－x 132<0,1＋1x 131·x 1
3
2>0，
所以f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2
)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：
f (x 2)－5f (x )
g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －2
3
)＝0.
16．(文)(北京丰台)已知函数g (x )＝(a －2)x (x >－1)，函数f (x )＝ln(1＋x )＋bx 的图象如图所示．
(1)求b 的值；
(2)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝1
1＋x ＋b ，
由题图可知f ′(－0.5)＝0⇒b ＝－2. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－2x －(a －2)x ＝ln(1＋x )－ax .F ′(x )＝1
1＋x
－a .
令F ′(x )＝1
1＋x －a >0，因为x ＋1>0，所以ax <1－a .
当a >0时，F ′(x )>0⇒－1<x <1
a
－1，
故函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a
－1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞. 当a ≤0时，F ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，故函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)； 综上所述：
当a >0时，函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1
，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞.当a ≤0时，函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)．
(理)(2010·山东滨州质检)已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝xm 2－m －2(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．
(1)求f (x )，g (x )的解析式；
(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )； ③f (x )<g (x )．
[解析] (1)设f (x )＝x α
，∵f (x )的图象过点(2，2)， ∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2；
又g (x )＝xm 2－m －2的图象与x 轴、y 轴都无公共点， ∴m 2－m －2≤0，∴－1≤m ≤2.
∵m ∈Z ，∴m ＝0或±1或2，当m ＝0或1时，g (x )＝x
－2
是偶函数，图象关于y 轴对称，
当m ＝－1或2时，y ＝x 0也满足，故g (x )＝x －2或g (x )＝x 0.
(2)若g (x )＝x 0＝1，则由f (x )>g (x )得，x 2>1，
∴x >1或x <－1.
故x >1或x <－1时，f (x )>g (x )，x ＝±1时，f (x )＝g (x )，－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．
若g (x )＝x －2，则由f (x )>g (x )得，x 2>1x
2，∴x 4
>1，∴x >1或x <－1，故当x >1或x <－1时，
有f (x )>g (x )；当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．
综上知，x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；x ＝±1时，f (x )＝g (x )；－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 17．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.
(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1，
又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝⎛⎭⎫1＋122
＝1， ∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.
(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1， a －b ＋c ＝0，∴b ＝12∴a ＋c ＝12.
∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－1
2
x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，
∴⎩⎨⎧
a >0Δ≤0，∴⎩
⎪
⎨⎪
⎧
a >0
ac ≥116
，
∴c >0，故a >0，c >0.
(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝1
16，当
且仅当a ＝c ＝1
4
时，取“＝”．
∴f (x )＝142＋12x ＋1
4
.
∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m x ＋14＝14[x 2
＋(2－4m )x ＋1]．
∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，
∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.
(理)如图所示，定义在区间D 上的函数f (x )，如果满足：对∀x ∈D ，
∃常数A ，都有f (x )≥A 成立，则称函数f (x )在D 上有下界，其中A 称为函数的下界．
(1)试判断函数f (x )＝x 3＋48
x
在(0，＋∞)上是否有下界？并说明理由；
(2)已知某质点的运动方程为S (t )＝at －2t ＋1，要使在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度是以1
2
为下界的函数，求实数a 的取值范围．
[分析] 第(1)问可以转化为求函数在指定区间上是否有最小值，若有最小值，此最小值就是下界值；第(2)问转化为不等式恒成立的问题进行解决即可，也就是转化为最值来解决．
[解析] (1)由f (x )＝x 3＋48x 得，f ′(x )＝3x 2－48x 2＝3
x
2x 4－16)，
当x ∈(0，＋∞)时，由f ′(x )＝0得，x ＝2是f (x )的极小值点，也是惟一的极小值点，所以x ∈(0，＋∞)时，f min (x )＝f (2)＝32，
即函数f (x )＝x 3＋48
x
在(0，＋∞)上有下界，下界是32.
(2)在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度v ＝S ′(t )＝a －1t ＋1
，
依题意得对∀t ∈[0，＋∞)有a －1
t ＋1≥12， 即a ≥1
t ＋1＋12
对∀t ∈[0，＋∞)恒成立．所以a ≥32。