矩阵论第一章讲解
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戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
矩阵论第一章内容总结
定理(展开定理) 行列式D等于它的任意一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
第一章内容总结
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn 0, i j. ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn D, i j.
定理 定理
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 一个排列经过奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次 对换不改变奇偶性。
n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，
各为 n!2 个。
第一章内容总结
6. n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
( j1 j2 jn )
(Байду номын сангаас) a a a 1 j1 2 j2
nj n
j1 j2 jn
an1 an2 ann
7. 上三角、下三角、对角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积。
第一章内容总结
8、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.
如果齐次线性方程组(Ⅱ)有非零解，则它的系数行 列式等于零．
11. 拉普拉斯展开
an1 ani ann an1 an i ann
4
第一章内容总结
推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成 m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写 成m个行列式的和.
矩阵分析第一章课件.ppt
是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
工程硕士矩阵论第一章
n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ， 如果存在一组数 量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）
矩阵论 黄有度1
பைடு நூலகம்
p2 n L
或( β1 , β 2， , β n ) = (α1 , α 2， , α n ) P L L
p11 p21 (1.2) 其中P = M M 过渡矩阵 pn1
p12 L p22 L
pn 2 L
p1n p2 n M M pnn
例 求线性空间Cn [ x] （复数域C上次数不超过n的 一元多项式全体）的基、维数及向量p的坐标。
解 空间的一个基为 p1 = 1, p 2 = x, p3 = x 2 ,L , p n +1 = x n 其维数为n + 1.任何次数不超过n的多项式 p = a n x n + a n −1x n −1 + L + a1x + a 0 可表示为 p = a 0 p1 + a1p 2 + L + a n p n +1 因此，p在这个基下的坐标为 p = (a 0 , a1 ,L , a n )
第一章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的定义
是一个包含0,1的数集 定义 设F是一个包含 的数集，且若 中的 是一个包含 的数集，且若F中的 任两个数的和， (除数为 除数为0外)仍在 仍在F 任两个数的和，差，积，商(除数为0外)仍在F 对这些运算封闭)， 为一数域 中(即F对这些运算封闭 ，则称 为一数域。 即 对这些运算封闭 则称F为一 有理数集，实数集， 例 有理数集，实数集，复数集都是 数域，而整数集不是数域。 数域，而整数集不是数域。
2. 子空间的交与和
定义 设V1 , V2为线性空间V 的两个子空间，我们分别称 V1 I V2 = {α ∈ V α ∈ V1 且α ∈ V2 }， V1 + V2 = {α ∈ V α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 为V1与V2的交与和。
p2 n L
或( β1 , β 2， , β n ) = (α1 , α 2， , α n ) P L L
p11 p21 (1.2) 其中P = M M 过渡矩阵 pn1
p12 L p22 L
pn 2 L
p1n p2 n M M pnn
例 求线性空间Cn [ x] （复数域C上次数不超过n的 一元多项式全体）的基、维数及向量p的坐标。
解 空间的一个基为 p1 = 1, p 2 = x, p3 = x 2 ,L , p n +1 = x n 其维数为n + 1.任何次数不超过n的多项式 p = a n x n + a n −1x n −1 + L + a1x + a 0 可表示为 p = a 0 p1 + a1p 2 + L + a n p n +1 因此，p在这个基下的坐标为 p = (a 0 , a1 ,L , a n )
第一章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的定义
是一个包含0,1的数集 定义 设F是一个包含 的数集，且若 中的 是一个包含 的数集，且若F中的 任两个数的和， (除数为 除数为0外)仍在 仍在F 任两个数的和，差，积，商(除数为0外)仍在F 对这些运算封闭)， 为一数域 中(即F对这些运算封闭 ，则称 为一数域。 即 对这些运算封闭 则称F为一 有理数集，实数集， 例 有理数集，实数集，复数集都是 数域，而整数集不是数域。 数域，而整数集不是数域。
2. 子空间的交与和
定义 设V1 , V2为线性空间V 的两个子空间，我们分别称 V1 I V2 = {α ∈ V α ∈ V1 且α ∈ V2 }， V1 + V2 = {α ∈ V α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 为V1与V2的交与和。
第一章矩阵理论(管理数学基础)
定理1：若1， ，s是方阵A的互异的特征值， x1， ，xs是分别相应于它们的特征向量，则 x1， ，xs 线性无关。 证：对s使用数学归纳法。 当s 1，因为任一个非零向量线性无关，所以定理 成立。 设对s 1个互异的特征值定理成立，要证对s个互异 的特征值定理也成立，为此令 k1 x1 ks 1 xs 1 k s xs 0， （） 1
T 线性( p11T1 pn1Tn， ，p1nT1 pnnT n ) (T1， ，T n ) P T (1 n ) P (1 n ) AP P 1 AP B P 1 AP。 称满足此关系式的A、B矩阵为相似的。
线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域
C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数
与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件： • 加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且
(1)交换律：x+y=y+x；
(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)； (3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X
n T n 解： 记X x ( x1， ，xn ) R | xi 0 则 (1) i 1 任x，y X ，x y ( x 1 y1， ，xn yn )T 其分量和
(x y ) x y
i 1 i i i 1 i i 1 n n
在上式两边同乘以s 得 k1s x1 ks s xs 0， （2） 因为Axi i xi (i 1， ，s )，用A左乘(1)式得 k11 x1 ks 1s 1 xs 1 ks s xs 0， （3） 将(3)、 二式两边分别相减得 (2) k1 (1 s ) x1 ks 1 (s 1 s ) xs 1 0 由于x1， ，xS 1线性无关，且i s (i 1， s 1)，故必有k1 k s 1 0， 从而k s 0。即x1， ，xs 线性无关。
矩阵论——讲稿
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．
(课件)矩阵论
=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
南航《矩阵论》第1章
都是有限维的，并且
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
证明
因为V1是有限维的，而V1 V2是V1的子
空间，所以V1 V2也是有限维的。设
dim(V1) n1, dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
0
0
1
0
,
0
1
1
0
1
E11
E22
( E11 ,
E12 , E21 ,
E22
)
0 0
1
类似地，
1
A2
0
1
0 1
E11
E22
( E11 ,
E12 ,
E21 ,
E22
)
0 0
B2
1
0
,
1 1
1 0
B3
0
0
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
证明
因为V1是有限维的，而V1 V2是V1的子
空间，所以V1 V2也是有限维的。设
dim(V1) n1, dim(V2 ) n2 , dim(V1 V2 ) m.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
0
0
1
0
,
0
1
1
0
1
E11
E22
( E11 ,
E12 , E21 ,
E22
)
0 0
1
类似地，
1
A2
0
1
0 1
E11
E22
( E11 ,
E12 ,
E21 ,
E22
)
0 0
B2
1
0
,
1 1
1 0
B3
0
0
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1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
1.1.1 集合
1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为
2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
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主讲人: 赵洪涌教授 E-mail:h2862753@
课时: 60学时
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男1】R {男生}，【女1】R {女生}。
A / R 【{ 男1】R【, 女1】R}.
例2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
特例: R R 记
R2
为平面上的全体点集
B AB
A
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定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种
规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R，
其中a A,b B. 记为：aRb.
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的
A AB A A A AB A A A A
B AB
A A
AB B
A
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
(1).交换律：A B B A, A B B A
(2).结合律: A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
(3).分配律 : A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
A B {(a,b) | a A,b B}
是选双学位专业的二元关系。
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A，如果aRb，
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果
aRb，bRc，则aRc 则称R是A上的一个等价关系。
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系，a A
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
或
A B
交集 A B x
且
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
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由集合的交与并运算的定义，显然有
称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点：
1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间 无此关系。 2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个 等价类的研究，大大减少了工作量。
集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
为A B上的一个二元关系。
例 2：A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
例 ３：
Ａ＝｛ 张华，王兵，陈平，李兰
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件，硬件，自动化，遥感
b1
b2
b3
b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
二元关系。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3（} 三套房间）， A与B之间是一个住宿关系。
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
第1章 线性空间与内积空间
第2章 线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数
第8章 广义逆矩阵
第1章 线性空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。