高考数学函数与方程思想

专题十函数与方程思想

一、考点回顾

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；

3．函数方程思想的几种重要形式

(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；

(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；

(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；

(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

二、经典例题剖析

(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)

1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是( ).

A . 0

B . １

C . ２

D . ４

解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.

思路分析：

1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t (t ≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)

作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.

(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；

(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12

，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；

(4)当0＜k ＜14

时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A .

2. 由函数f (x )＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g (x )＝k 可得出答案为A .

3. 设t ＝|x 2－1|(t ≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.

4. 设函数f (x )＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A .

答案：A

点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合

法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.

2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ).

Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2

解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：

答案：C

点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q )列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.

3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－. (１)求tan α的值；

(２)求的值.

解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan 2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13

， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13

=为所求.

答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103

变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.

4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ). Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52

Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.

思路分析：

１. 分离变量，有a ≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52

，故选Ｃ.

2. 看成关于a 的不等式，由f (0)≥0，且f (12

)≥0可求得a 的范围. 3. 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.

4. f (x )＝x 2＋1，g (x )＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f (12)≥g (12

)，即a ≥－52

. 5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.

答案：Ｃ

点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.

5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且

(λ＞0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .

(1)证明为定值；

(2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值.

解：(1)证明：由已知条件，得F (0，1)，λ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由

，

得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，

即将①式两边平方并把代入得 ③

解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ

，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12

x 1(x －x 1)＋