第四章抗干扰二元编码原理及方法3_构造纠错码的基本方法

故 r 的 长 度 应 满 足 ： 2 r n 1 若 2 r n 1 ， 为 狭 义 汉 明 码 若 2 r n 1 ， 为 广 义 汉 明 码 2r 23 8 n1 （7，4）汉明码 k 4 ,r 3 ,n 7为狭义汉明码
××××
x1 x2 x3 x4 x5 x6 h x7
×：信息码元
1 0 0 0 0 1 1
[x1x2x3x4
]0 0
1 0
0 1
0 0
1 1
0 1
1 0
0 0 0 1 1 1 1
[x1x2x3x4][G ]
h
11
例： （7，4）汉明码的生成矩阵[H]为：
1 0 0 0 0 1 1 [G] 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 对信源序列为0110，1001，0010，0101，0110,…
0 1 1 1 1 0 0
[H] 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1 h
8
例：若接收机收到的汉明码字为：0110111， 1011100，0010110，…，求译码输出
解：根据校验子
s1 x2* x3* x4* x5*
s2
x1*
x3*
x4*
x6*
s3
x1*
x2*
x4*
4.3 构造纠错码的基本方法
h
1
一、简单重复码
1、逐位重复
例：01001101
三重重复码： 000，111，000，000，111，111，000，111，…
优点：逐位重复的设备很简单
2、分组重复
0100，0100，0100，1101，1101，1101，…
优点：可抗成群连续差错
简单重复码的重复次数应为奇数
：监督码元 3
1、监督矩阵 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 1 1 1 1 0 0 [H] 1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
监督矩阵的每一行均表示一个监督码元与4个信息 码元之间的关系
x5 x2 x3 x4
x
6
x1
x3
x4
x7 x1 x2 x4
已知信息码元，根据监督矩阵，由上式求出监督码
s1
0
0111100
s2
0
1011010
s3
0
1 1 0h 1 0 0 1
9
3、生成矩阵
汉明码的编码也可以由生成矩阵[G]完成，而生成 矩阵[G]可由监督矩阵[H]导出
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 1 1 1 1 0 0
x1 x1
x2
x2
[H] 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
h
6
2、校验矩阵
x1*
x2*
s1
x3*
[S]
s2
[
H
]
x4*
[H ][ x1*
x2*
x3*
x4*
x6*
x7* ]T
s3
x5* x6*
x7*
其 中 ： [x 1 *x 2 *x 3 *x 4 *x 6 *x 7 * ]T 是 接 收 端 收 到 的 码 字 ， 与 [x 1x 2x 3x 4x 6x 7]T 不 一 定 相 等
x5 x2 x3 x4
x
6
x1
x3
x4
x7 x1 x2 x4
根据上式，对信源序列编码得汉明码字：0110011，
1001100，0010110，0101010，0110011，…
h
5
编码后的码字可由下列矩阵乘法验证
x1
x
2
0 1 1 1 1 0 0 x3
1
0
1
1
0
1
0
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
简单重复码的缺点：编码效率低，
n重重复码的编码效率： 1/n
简单重复码的优点：检、纠错能力较好
h
2
二、纠正一位错误的汉明码
是一种（n，k）分组码
k 个信息码元 + r 个监督码元 = n 个码元（一个汉明码码字）
r个监督码元应能监督k个信息码元和r个自身码元 中哪个错，以及无错情况，共k+r+1=n+1种状态
x4
[0]
1 1 0 1 0 0 1 x 5
x
6
x 7
对上例编码得到的汉明码字：0110011，1001100， 0010110，0101010，0110011,…进行验证，均为[0]
（ 7 ， 4 ） 汉 明 码 的 最 小 码 距 d m in 3 ，
故 能 纠 正 一 位 码 元 错 误 ， 能 发 现 两 位 码 元 错 误
进行编码
解：用信息码元乘以
[x1生x2成x3x矩4x阵5x6[Gx7]]编码[x1：x2x3x4]100
0 1 0
Baidu Nhomakorabea
0 0 1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1
1 0
0 0 0 1 1 1 1
对信源序列编码得：0110011，1001100，0010110，
0101010，0110011，… h
12
1 0 0 0 0 1 1 生成矩阵：[G]0 1 0 0 1 0 1
h
7
s1 ,s2,s3 称 为 校 验 子 s1 s2
x2* x1*
x3* x3*
x4* x4*
x5* x6*
s3
x1*
x2*
x4*
x7*
校验表
校验子 无差错 x1* x2* x3* x4* x5* x6* x7*
s1
0 0111100
s2
0 1011010
s3
0 1101001
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x7*
0110111 [S]=[100] x5*错 0110011 0110
1011100 [S]=[110] x3*错 1001100 1001
0010110 [S]=[000] 无错 0010110 0010
得译码输出：0110，1001，0010，…
校验子 无差错 x1* x2* x3* x4* x5* x6* x7*
x3
x4
x3 x4
x5
x2 x3 x4
x6 x1
x3 x4
x
7
x1
x2
x4
h
10
x1
T
x1
T
x
x2
x3
[ x1x2 x3 x4 x5 x6 x7
]
x4
x3
x
4
x5 x2 x3 x4
x6
x1
x3
x4
x7 x1 x2
x4
元，并将监督码元加在信息码元后面，构成汉明码
字，即完成编码。汉明码字是一种系统码。
h
4
例： （7，4）汉明码的监督矩阵[H]为：
0 1 1 1 1 0 0 [H]1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
对信源序列为0110，1001，0010，0101，0110,… 进行编码
解：由监督矩阵得监督码元与信息码元的关系：