工程数学 积分变换(第四版)第3讲.

积分 : t f (t)dt 1 F (w)
-
jw
结束
10
实际上, 只要记住下面四个Fourier变换, 则所 有的Fourier变换都无须从公式直接推导而从 傅里叶变换的性质就可导出.
(t) 1
u(t)
1
jw
(w)
u(t)e-bt
1
b jw
e-bt2
b
e-
w2 4b
11
dw
dw -
f (t)(
d
e- jwt ) d t
-
dw
[-
jt
f
(t)]e- jwtd t
-
F [- jtf (t)] - jF [tf (t)].
一般地, 有
dn
dwn
F (w)
(-
j)n F
[tn f (t)]
即
jn
dn
dwn
F (w) F
[tn f (t)]
6
例2
已知函数f
(t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0, e - b t
e jwt0 F [ f (t)]
同理有 F -1[F (w w0 )] f (t)e jw0t
3
例1
求矩形单脉冲f
(t)
E, 0,
0t 其他
;的频谱函数.
解 : 根据Fourier变换的定义,有
F(w)
f (t) e- jwtd t
-
E e- jwtd t E e- jwt
如果 f (t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f (t)0, 则
F [ f '(t)]=jwF [ f (t)].
证 由Fourier变换的定义, 并利用分部积分可得
F [ f (t)] f (t)e- jwtd t e- jwtd f (t)
-
-
f (t) e- jwt
,
t
0,
(b
0),试求
t0
F [tf (t)]及F [t2 f (t)].
解 根据1.2节例1知
F (w) 1 , b jw
利用象函数的导数公式,
F
[tf (t)]
j d F (w)
dw
(b
1
jw)2 ,
F
[t2 f (t)]
j2
d2
dw 2
F (w)
(b
2
jw)3
.
7
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t)dt 0,则 -
F
t -
f
(t ) d
t
1
jw F
[ f (t)].
证明: 因为g '(t) f (t),
由微分性质可得
F g '(t) jwF [g(t)],
所以
F
[ f (t)]
jwF
t -
f
(t)dt .
得证.
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本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
0
- jw
0
E (1 - e- jw )
E
- jw jw
e 2 (e 2
- jw
-e 2 )
jw
jw
- jw
e 2
2E sin w
.
对比:
w2
1.2节例6单个矩形脉冲
f
(t
)
E,
- t ;
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的频谱函数为 F(w) 2E sin w .
0, 其他
w2
4
3.
微分性质
一个函数的导数的Fourier变换等于 这个函数的Fourier变换乘以因子jw.
F [ f (t t0 )] e F jwt0 [ f (t)]
证 由Fourier变换的定义, 可知
F
[ f (t t0)]
-
f
(t
t0 ) e- jwtd t
(令t t0 u, 则t u t0 )
f (u) e- jw(u t0 )d u -
e jwt0 f (u) e- jwud u -
同样, Fourier逆变换亦具有类似的线性性质, 即
F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)
它们的证明只需根据定义就可推出.
2
2.
位移性质
f (t)沿t轴向左或向右位移t0的Fourier变换 等于f (t)的Fourier变换乘以因子e jwt0 或e- jwt0 .
Fourier变换的性质
1.线性性质 2.位移性质 3.微分性质 4.积分性质
为了叙述方便起见, 假定在以下性质中, 凡是需要 求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理中的 条件. 1.线性性质
设F1(w) F [ f1(t)], F2(w) F [ f2(t)],a, b是常数,则 F [a f1(t) b f2(t)] aF [ f1(t)] bF [ f2(t)].
d t -
d t -
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性质小结: 若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w)
线性 :a f (t) b g(t) a F (w) bG(w)
位移 : f (t t0 ) F (w) e jwt0 f (t)e jw0t F (w w0 )
导数 : f (t) jwF (w)
t f (t) d t的意思其实是 t f (u) d u,
-
-
即我们看到 t f (t) d t时必须将它理解为 -
t
f (u) d u -
例如 t etd t t eud u eu t et - e- et
-
-
-
且有 d t f (t) d t d t f (u) d u f (t)
-
jw
f(tf)(dte)-ej-wjtwtdt
- - -
jwF [ f (t)]
推论 F [ f (n)(t)]=(jw)nF [ f (t)].
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象函数的导数公式
设F [f(t)]=F(w), 则
d F (w) F dw
[- jtf (t)] - jF
[tf (t)].
证明 :
d F (w) d f (t)e- jwtd t