《计算方法。课程大作业选题

计算方法大作业选题

(任选一题)

1． 插值方法：

编制用牛顿插值、哈密特插值、分段插值、样条插值的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。

2． 数值积分方法：

编制用牛顿—科特斯、复化求积、龙贝格公式计算积分的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。

3． 求解线性方程组：

编制用直接法（消去法、三角分解法）与间接法（迭代法）解线性方程组的计算机程序，并就计算结果分析它们的特点。

4． 用高斯－勒让德公式计算定积分

设计用高斯－勒让德求积公式计算定积分的程序，并用数值例子计算。

5． 求大区间积分的数值方法

设计一种方法求解积分dx e I x ⎰

-=200002的数值方法，并分析它的可行性 6． 椭圆数值积分 已知椭圆的周长可以表示成)(cos 1012022<<+=⎰ρθθρπ

d a s ，取a=1，

（1） 针对ρ从0.1到0.9（步长h=0.1）分别求出周长s ；（用Romberg 积分方法）

（2） 对于以上数据，求出s 关于ρ的插值多项式；

对于（1）中数据，试用最小二乘的思想求作拟合多项式（要求是偶次），并对这些多项式的优劣进行比较。

7.正态曲线的拟合 标准正态分布的分布函数⎰⎰-∞--π+=π=x t x t dt e dt e x 0222

2212121

)(Φ

（1） 试采用Romberg 求积算法计算当=x 0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5时的)(x Φ的值；

（2） 针对（1）中求出的)(x Φ值，选择适当的曲线做曲线拟合。

备选曲线：①多项式曲线 ②B Ax x y +=

③Ax Ce

L y +=1（选择其中一种即可） 8．曲线拟合 1601年，德国天文学家开普勒发表了行星运行第三定律：2/3Cx T =，其中，T 为行星绕太阳旋转一周的时间（单位：天），x 表示行星到太阳的平均距离（单位：百万公里），并测得水星、金星、地球、火星的数据（x ，T ）分别为（58，88）、（108，225）、（150，365）、（228，687）。

（1） 用最小二乘法估计C 的值；

（2） 分别作出上述数据点的直线、抛物线、三次、四次多项式拟合，求出残差平方和Q ，

并比较优劣；

（3）用函数c bx ae y x ++=来对数据点进行曲线拟合，并求出残差平方和Q ．

9.求方程实根

用二分法和牛顿迭代法(包括弦截法)编程求方程

02

s i n 2

=-x x 的实根，要求误差不超过410-。输出迭代次数，初始值和根的近似值；再构造不同的迭代函数，用迭代法求解，并进行比较。

10．圆周率的计算（选择一至两种方法即可完成论文，不必要所有方法都讨论到）

（1）数值积分法 我们知道，41102π=+⎰x dx ，还有，411

2π=-⎰dx x ，所以， dx x ⎰+=10214π，或者，⎰-=10214dx x π

于是，我们可以通过计算上述定积分的近似值来得到π的近似值。试用数值积分的方法运用上面的公式计算圆周率的近似值。

（2）无穷级数法

我们知道，当x ∈[-1,1]时

arctanx = +--++-+---1

2)1(7531217

53n x x x x x n n 试运用上面的级数展开式，运用下面公式（选一种即可）计算圆周率的近似值。

① 3

1arctan 21arctan 4+=π

② 239

1arctan 51arctan 44-=π ③239

1arctan 571arctan 281arctan 64++=π ④239

1arctan 5571arctan 8181arctan 124-+=π ⑤79

3arctan 271arctan 54-=π （3）波尔文(Borwein )高阶公式

在π值的高阶算法研究中，最好的结果来自两个都叫波尔文的数学家。他们在1984年发表了一个2阶收敛公式： 20=a ，00=b ，220+=p ，

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧++=++=+=++++++1111111)1()1(2)1(k k k k k k k k k k k k k b a b p p b a b a b a a a 式中π→k p 。试运用上述迭代算法，计算圆周率的近似值，并和前面传统方法进行比较。

（4）1986年，波尔文又发现了1/π的4阶收敛公式：

2460-=a ，120-=b ，

⎪⎩⎪⎨⎧++-+=-+--=+---)1(2)1()1(1)1(12124141414

141k k k k k k k

k k k b b b b a a b b b 式中π→1k a 。试运用上述迭代算法，计算圆周率的近似值，并和前面传统方法进行比较。

(5)算术几何均值(AGM )公式

设a 0，b 0是两个正数，今定义算术均值数列﹛a k ﹜、几何均值数列﹛b k ﹜

)(2

11k k k b a a +=+ k k k b a b =+1 再定义数列﹛c k ﹜ 222k k k

b a

c -= 若﹛a k ﹜和﹛b k ﹜当∞→k 时极限存在并相等，称该极限为(a 0, b 0)的算术几何均值，记为AGM (a 0, b 0)。

理论推导可知，对于初值

10=a ，21

0=b

有π的计算式

π= ----2342232122

002221)),((4c c c b a AGM 且上式是2阶收敛的。

在实际计算中，S k 表示式⒆分母的前k 项之和，并用a k 和b k 分别作为AGM (a 0, b 0)的估计值就可以算出π的上、下限a π和b π(显然有a π≥b π)。自行编程计算π值上、下限，并输出计算过程，观察需用几步可以达到理想的效果。

11．正态分布表的制作 标准正态分布的分布函数⎰⎰-∞--π+=π=x t x t dt e dt e x 0222

2212121

)(Φ

试计算当x 取0~3之间的数值时的)(x Φ的值，要求每隔0.01计算一次，计算结果列表表示（精确到610-）