大学物理第六章恒定电流

k 1
n
I 2 I 3 I1 I 4 0
即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI
k 1
n
k
0
I1
若
Ik 0
k 1
n
S
I4
则S中将有正电荷从封 闭面内净流出
I2
I3
由于电流不随时间改变(恒定电流),这一净流 出将永不休止 说明封闭面内将不断产生正电荷或有无穷多 的正电荷 ——违背了电荷守恒定律
I 2 I 3 I1 I 4 0
a
r dr
R dR
得证.

a
dr 2 2a 2r
ρ
如图:截圆锥体电阻率为ρ,长为l,两端半径分 别为R1和R2 ,试计算此锥体两端之间的电阻.
dx dx 2 解: dR S r
由几何关系:
dx R1 r l R2 O
dr l R dR R2 ( R R ) r 2 R1 R2 1 2
S
I1
S
I
I2
恒定电流
s
或
j dS 0
dS
SdI 0
恒定电场
S
j
在恒定电流情况下，导体中电荷分布不随时间变化 形成恒定电场； 恒定电场 导体中的不随时间变化的电荷分布就像固定的静止 电荷一样，因此恒定电场与静电场有很多相似之处
恒定电场与静电场具有相似性质（高斯定理和环 路定理），恒定电场可引入电势的概念；
I q / t
也可表述成电流为通过截面S 的电荷随时间的变化率
q dq i lim t 0 t dt
电流为通过截面S 的电 荷随时间的变化率
vddt
S
+ + +
dq I dt
+ + +
n：电子密度
I
vd ：为电子的漂移速度大小，
dq e ndV envddtS

E dl (电源内 )

Ek dl Ek dl 外 Ek dl 0 外 内 电源电动势 Ek dl Ek dl
l 内
电源电动势大小等于将单位正电荷从负极经电 源内部移至正极时非静电力所作的功.
欧姆定律的 微分形式
I
dI
dl
U
dS
U dU
电阻率
1 j E E

例 2 两个导体A、B 带电 -Q、+Q 被相对电容 率 r 电阻率 的物质包围，证明两导体之间电流 与导体尺寸及它们间的距离无关. 解 由高斯定律得 S A
0r I j dS s
R1
a
U R2 I 2 π aU ln R1 R
例1: 一块扇形碳制电极厚
为t，电流从半径为r1的端面 S1流向半径为r2的端面S2， 扇形张角为 。求S1和S2面 之间的电阻。

S2 S1
I
t
r1
r2
解:扇形碳制电极横截面的面积不是常数，因此在
电极上取一半径为r，长度为dr的一微小长度，此 处电极横截面积为S=tr。其电阻为 dr dl dR tr S
6.5 基尔霍夫定律
一 基尔霍夫第一定律——节点电流定律 恒定电流：通过任意一个封闭曲面的电流为零 封闭曲面 I j dS 0 I I
S
1 4
电流正负号的选取: 取流进曲面的电流为负值, 流出曲面的电流为正值.
I 2 I 3 I1 I 4 0
I2
I3
即
Ik 0
l
E dl 0
非静电力做的功
A/q
l
E dl
单位正电荷绕闭合路径一周非静电力做的功 电动势的定义：单位正电荷绕闭合回路运动一 周，非静电力所做的功.
R
电动势
A E dl l q
I
+ + +
-
若非静电力只存在于电源内部,电源外部没有非 静电力的作用
I
dI j dS jdS cos
I s j dS
若曲面是闭合的,则
I S j dS

dS
j
I
例 （1）若每个铜原子贡献一个自由电子 ，问 铜导线中自由电子 数密 度为多少？ （2）家用线路电流最大值 15A， 铜 导 线半径 0.81mm此时电子漂移速率多少？ （3）铜导线中电流密度均匀，电流密度值多少？ 已知: 铜的密度为8.95×103kg/m3,摩尔质量为 63.5×10-3kg/mol, 解 (1) (2)

* +
_ Ri
*
正极
负极 电源
电源的电动势 和内阻 Ri
注意:电动势是标量,但有正负 通常把电源内部电势升高的方向,即从负极经电源 内部到正极的方向规定为电动势的正方向. 正方向 非静电力的方向
电源电动势的大小只取决于电源本身的性质,与 外电路无关. 电动势的单位为 伏特(V)
恒定电场与静电场的相似点 ★都服从高斯定律 ★都服从环路定理(都是保守场) 恒定电场与静电场的不同点 1、恒定电场的电荷是运动的，而静电场的电 荷是固定的 2、恒定电场的导体内部存在电场，而静电场 的中处于静电平衡的导体内部场强为零 3、恒定电场总要伴随着能量的转换，而静电 场由固定电荷产生，维持静电场不需要能量的 变换
即电子定向运动速度的大小
I envd S
单位: 1A
1A 10 mA 10
-3
-6
A
j 方向规定：
二 电流密度（矢量！） 该点正电荷运动方向
S
+ + + + + +
大小规定：等于在单位时间内过 单位时间 该点附近垂直于正电荷运动方向 的单位面积的电荷 单位面积 dI dI j dS dS cos
1 j E
Q s E dS
r
B
+Q
-Q


I
s

1 E dS
Q
0 r
一
电源
6-4 电源 电动势 i
+ + + +
-
+ + F +
正极
F 负极
开始的时候
F F
电源 当F=F’时,电 源内部的电荷 停止运动
正极与负极的电势差为电动势 非静电力把正电荷从负极移到正极是提高电荷的电势 能, 非静电力做正功, 电源消耗能量,用于提高电荷的电势能 电源就是把其他形式能转化为电势能的装置
U
r
R2
R1
a
由欧姆定律的微分形式:
R
I E j E 2πRa R2 dr I R2 U E dr ln R1 2 π ar 2 π a R1 U R2
I 2 πa ln R1
二 超导体 有些金属和化合物在降到接近绝对零度时，它 们的电阻率突然减小到零，这种现象叫超导.

一般金属或电解液，欧姆定律在相当大的电 压范围内是成立的， 但对于许多导体或半导体， 欧姆定律不成立，这种非欧姆导电特性有很大的 实际意义，在电子技术，电子计算机技术等现代 技术中有重要作用.
P158例6-1解法二
I I j dS j 2πra j 2πra
由欧姆定律的微分形式:
I GU
G=1/R称为 电导,单位为 西门子(S)
l R S
l R S
电导率,单位为西 电阻率,单位为 门子每米(S/m) 欧姆米(Ω·m) 电阻率（电导率）不但与材料的种类有关，而 且还和温度有关 . 一般金属在温度不太低时 电阻率
t 0 [1 t ]
电阻的温度系数
n NA

I 15 2 6 2 (3) j A m 7 . 28 10 A m 4 2 π ( 8 . 10 10 ） S
I 4 -1 -1 vd 5.36 10 m s 2m h nSe ？
M
8.4810 个 / m
28
3
每立方米内的物质的量
R/ 0.10 0.05 * * * *
超导的转 变温度 TC 4.10 4.20 4.30 T/K
汞在 4.2K附 近电阻 突然降 为零
超导体最早由荷兰物理学家昂尼斯于1911年发现
1911 - 1973 超导体的转变温度从4.2K→23.2K 1986 超导体的转变温度30K(镧钡铜氧化合物制 成的陶瓷材料)
例1 一内、外半径分别为 R 1和 R 2 的金属圆 筒，长度 a , 其电阻率 ρ ，若筒内外电势差为U ，且 筒内缘电势高，圆柱体中径向电阻和径向电流强度为 多少 ？
dr d r 解: dR S 2 πra R d r R2
R
U
R
2
1
2 π ra

r
R2
2 πa
ln
R1
即
Ik 0
k 1
n
I1
I4
——节点电流方程 基尔霍夫第一定律 对于单一导线 必有 I1 I 2 恒定电流必须是闭合回路
I1
I2
I3
S
S
I2
二 基尔霍夫第二定律——回路电压定律 由于
Ik 0
k 1
n
I1
I4
dq 0 所以对于封闭面内，有 dt
I2
I3
即总电荷量q分布不随时间发生变化 因此，由上述电荷产生的电场也不随时间发 生变化 恒定电场——不随时间发生变化的电场
R
r2 r1
r2 dr ln tr t r1
P176 6-7 把大地看为电阻率为ρ的均匀电介质, 如图,用一半径为a的球形电极与大地表面接触, 半个球体埋在地下,电极本身的电阻可忽略,试证 明此电极的接地电阻为 R 2a 证明:
dr dr dR 2 S 2r
R1
x r R2 l R1 R2 l dx dr R1 R2
x
l
例 一内、外半径分别为 R 和 R 的金属圆筒， 1 2 长度 a , 其电阻率 ρ ，若筒内外电势差为U ，且筒内 缘电势高，圆柱体中径向电阻电流强度为多少 ？ 解法二
I j 2πra
I j dS j 2πra
三 欧姆定律的微分形式
U V1 V2 El U I j S R
S
I
E l
R l / S
欧姆定律的 微分形式
1 j E E

电导率 电阻率
欧姆定律的 微分形式 同，大小成正比 注意
1 j E E
表明任一点的电流密度 j 与电场强度 E 方向相
电流 电流密度
一 电流 电流是由大量电荷做定向运动形成的.
形成电流的带电粒子可以是电子、质子，正负离 子，在半导体中还可能是带正电的空穴。
这些带电粒子称为载流子。
+ + + +
+ + + +
+ + + +
E0
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
在导体中维持电流的必要条件是: 导体内的电场强度不为零即导体两端必须有电势差 金属中实际移动的是带负电的自由电子 自由电子的移动方向与电流的方向相反 电流的大小等于单位时间通过导线某一截面 S的电量 单位时间
稳恒电流 单位时间内通过闭合曲面向外流出的电荷，等于此 闭合曲面 时间内闭合曲面里电荷的减少量 . 闭合曲面
三
dQ dQi s j dS dt dt
若闭合曲面 S 内的电荷不随时间 而变化，有 恒定电流
dS
j
I I1 I2 0
s
dQi 0 dt j dS 0
U
r
R2
R1
a
R2 dr I R2 ln U E dr R1 2 π ar 2 π a R1 U R2 R ln I 2 π a R1
I E j E 2πra
三 欧姆定律的微分形式
dl dU R dI dS R 1 dU dI dS 电导率 dl dI 1 dU 1 E E dS dl
E d l 0
l
区别：
1）恒定电场中，导体内部的电场不为零，净电荷也 不为零 不为零（产生静电场的电荷是始终不动的，而恒定电 场的电荷在运动） 2）恒定电场的存在伴随能量的转换.
一
欧姆定律
6-2 欧姆定律 电阻率 欧姆定律的微分形式
一段电路的欧姆定律 二 电阻率 电阻定律
U IR
非静电力: 能不断分离正负电 荷使正电荷逆静电场力方向运动. 电源：提供非静电力的装置. 正电荷所受的非静电力.
非静电电场强度 E : 为单位
A q( E E ) dl
l
I
R +E ++ + E-
静电力与非静电力做功之合:
恒定电场和静电场类似,有
l A qE dl l A / q E d l 单位正电荷绕闭合路径一周