知识讲解 复数代数形式的四则运算

复数代数形式的四则运算

编稿：赵雷 审稿：李霞

【学习目标】

1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

2. 会进行复数乘法和除法运算。

3. 掌握共轭复数的简单性质，理解z 、z 的含义，并能灵活运用。

【要点梳理】

要点一、复数的加减运算

1.复数的加法、减法运算法则：

设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：

12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++

21()()z z c a d b i -=-+-

要点诠释：

（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，

两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．

（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。

2.复数的加法运算律:

交换律：z 1+z 2=z 2+z 1

结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

要点二、复数的加减运算的几何意义

1. 复数的表示形式：

代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）

几何表示：

①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）；

②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.

要点诠释：

复数z a bi =+←−−−

→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：

如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.

设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、

2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， 由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i

对应的向量

类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量

要点诠释：

要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：

（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理

（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。

要点三、复数的乘除运算

1．共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

通常记复数z 的共轭复数为z 。

2．乘法运算法则：

设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：

12()()()()z z a bi c di ac bd bc ad i ⋅=++=-++

12222

2()()()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i z c di c di c di c d c d ++-+-====+++-++

要点诠释：

1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。

3．乘法运算律：

(1)交换律：z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3

(2)结合律：z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3

(3)分配律：z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3

要点四、复数运算的一些技巧：

1. i 的周期性：如果n ∈N ，则有：

41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）

2. 2

(1)2i i ±=±

3. 共轭复数的性质：两个共轭复数z 、z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方， 即22z z x y ⋅=+，其中z=x+yi （x ，y ∈R ）．

【典型例题】

类型一、复数的加减运算

例1.计算：（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

（2）(1―2i)―(2―3i)+(3―4i)―(4―5i)+…+(1999―2000i)―(2000―2001i)

【解析】（1）(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

（2） 解法一：

原式=(1―2+3―4+…+1999―2000)+(―2+3―4+5+…―2000+2001)i=―1000+1000i 。

解法二：

(1―2i)―(2―3i)=―1+i ，

(3―4i)―(4―5i)=―1+i ，

……

(1999―2000i)―(2000―2001i)=―1+i 。

将上列1000个式子累加，得 原式=1000(―1+i)=―1000+1000i 。

【总结升华】 复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。 举一反三：

【变式】 (1)设z 1=3+4i ，z 2=―2―i ，求12z z +,

(2) 已知z 1=(3x+y)+(y―4x)i ，z 2=(4y―2x)―(5x+3y)i （x ，y ∈R ），求z 1―z 2，

【答案】

(1) z 1+z 2=(3+4i)+(―2―1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i

(2) z 1－z 1=(3x+y)+(y －4x)i －[(4y －2x)－(5x+3y)i]=[(3x+y)－(4y －2x)]+[(y －4x)+(5x+3y)]i =

(5x －3y)+(x+4y)i ，

类型二、复数的乘除运算

例2．计算：(1) (1－i)2； (2) (1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．

【思路点拨】

第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．

(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i －i ＋i 2＝－2i ；

解法二：(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i.

(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i －6i －8i 2)(1＋2i)

＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i ＝15＋20i ；

解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.

【总结升华】此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中

(－2i)·4i ＝8，而不是－8.

举一反三：

【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i 2=－2+i ，∴复数z 所对应的点为（－2，1），故选B ．

【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题1】

【变式2】计算：（1）()n i n N +∈；（2）23100i i i i +++；（3）23100i i i i ⋅⋅⋅⋅