最优控制理论-最短时间控制系统

(3-15)
于是(3-11)式可写成
ˆ j t q ˆ j t u j t q ˆ j t u
j 1 j 1 m m
(3-16)
9
(3-16)式意味着函数
ut u j t q ˆ j t
j 1 m
(3-17)
ˆ j (t ) 时达整体最小： 当u j (t ) u
第三章
最短时间控制 系统
1
最短时间控制问题，也叫做时间最优控制问题 由 于 其 性 能 指 标 特 别 简 单 ( 或 是 0, L 1 ; 或 是
t f , L 0 ，其中 t f 自由)，因而研究得最早，所得结果
也最为成熟。
2
2
§3-1 非线性系统的最短时间控制问题
研究一类非线性系统的最短时间控制问题
T T T
(3-6)
或：
H 1 fi x(t ), t i (t ) u j (t ){ bij x(t ), t ห้องสมุดไป่ตู้i (t )}
i 1 j 1 i 1 n m n
(3-7)
求规范方程组：
m H x f k x ˆ k (t ) ˆ (t ), t bkj x ˆ (t ), t u ˆ j (t ) k j 1
u j 1 u j t 1
(3-19)
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不难看出
u j t 1
min {u j t q ˆ j t } q ˆ j t
(3-20)
q ˆ j t 是 ˆ j t 的下列函数： (3-20)式表明，最优控制u u ˆ j t 1 u ˆ j t 1 u ˆ j t 不定 ˆ j t 0 若q ˆ j t 0 若q ˆ j t 0 若q
min ut min u j t q ˆ j t
u u j 1
m
(3-18)
因各控制分量 u j (t )
m
j 1,2,...m 的约束是相互独立的，故可交
换求最小与求和的次序，于是(3-18)式可化为
min ut { min u j t q ˆ j t }
(3-2)
4
使系统从已知初态
xt0 x 0
(3-3) (3-4)
到达满足边界条件
xt f , t f 0
是 r 维的向量函数，且对 x(t)和 t 的某个终态 x(t f ) ，其中
连续可微； 并使性能指标
J (u ) t f dt t f t0
0
t
(3-5)
特点：状态方程的右边对控制u (t ) 是一次的。
引出平凡系统和非平凡系统的概念 阐明最短时间控制制系统的基本特征。
3
最短时间控制问题的提法
问题 3-1 已知系统的状态方程
x i t f i xt , t bij xt , t u j t
j 1 m
i 1,2,..., n
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
分析（3-11） ，定义函数
ˆi (t ) q ˆ j t bij x ˆ (t ), t
i 1 n
j 1,2,..., m
(3-14)
或其等价的 m 维向量
ˆ t ˆ t B T x q ˆ t , t λ
u ( t )
m
ˆi (t ) u ˆi (t )} 1 f i x ˆ (t ), t ˆ j (t ){ bij x ˆ (t ), t
i 1 j 1 i 1
n
n
ˆi (t ) u j (t ){ bij x ˆi (t )} 1 f i x ˆ (t ), t ˆ (t ), t
(3-8) (3-9)
6
n m n b H f ij ˆ i ˆk (t ) ˆi i u i t ˆ j t xk i 1 xk j 1 i 1 xk
ˆ (t ), u ˆ (t ), u(t ), t 可得 由 Hx ˆ (t ),λ ˆ (t ), t min Hx ˆ (t ),λ
(3-1)
或其等价的向量形式
x t f x t , t Bx (t ), t u (t )
其中 f i xt , t 和bij xt , t 对 x(t)和 t 连续可微。寻找一 m 维有 界闭集中的控制向量，满足下列不等式约束
u j (t ) 1 j 1,2,...m
i 1 j 1 i 1
n
m
n
(3-10)
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t 即 u
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
(3-11)
7
在最优轨线终端处，哈密顿函数的终值是 T ˆ Hx ˆ (t ),λ (t ), u ˆ (t ), t t tˆf t tˆf
最小，其中t f 是未知的。
5
应用最小值原理来求解这一问题
写出系统的哈密顿函数
Hx(t ), λ (t ), u(t ), t 1 λ T (t ){f x(t ), t Bx(t ), t u(t )} 1 f x(t ), t λ (t ) u (t )B x(t ), t λ (t )
t f
(3-12)
T v H 0 t f t f t t f
协态终值满足横截条件
T ˆ (t ˆf ) λ x t tˆf
(3-13)
T ˆ (t f ) x x
v t t f
8
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t u