1多元函数的概念及极限

x0 x
x0 xy
x0 xy x0
y2y2y2y2令u xy , u 0
lim sin xy lim sin u 1 x0 xy u0 u
y2
例8
求极限
sin( x2 y)
lim
x0
x2
y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x, y )( x0 , y0 )
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2、lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
1 (x
cos( x 2 y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
•P0
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
则称 E 为开集.
•P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4} E
开集
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也
可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
•P
设 D 是开集．如果对于D内
任何两点，都可用折线连结起来， E
有界闭区域
{( x, y) | x y 0}
y
无界开区域
o
x
3、聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的
一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 说明：
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例: {( x, y) | 0 x2 y2 1}
第二章 多元函数微分学
§1 多元函数的基本概念 一、 多元函数的概念 二、 多元函数的极限
一、多元函数的概念
1、邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某
一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y)
的全体，称为点P0的 邻域，记为U(P0 , )，
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例16 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例6 求极限 lim ln( x y2 ) x1 y2
解 lim ln( x y2 ) ln(1 22 ) ln 5 x1 y2
例7
求极限
lim
x0
sin xy x
y2
解 lim sin xy lim sin xy y lim sin xy lim y 2
y x
lim
x0
x2 2x2
1 2
y x
lim x0
x2
xy y2
y0
不存在
例14
证明lim x0
x3 y x6 y2
不存在．
y0
证 取 y kx3
lim
x0
x
x3 y 6 y2
lim
x0
x3 kx3 x6 k2x6
1
k k
2
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
观察
z
x3 y x6 y2
2
2
代入得
f
(u,
v
)
u
v
2
u
v
2
uv
2 2
所以 f ( x, y) xy.
例3 求 f ( x, y) x y 的定义域．
解
x y 0
y
0
x2 y
x
0
y
0
y
O
x
例4
求
f
( x,
y)
x2 x2
y2 y2
的定义域．
解
x2 y2 0
y
O
x
例5 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
3、若 f ( y)
x2 y2 ( y 0),则f ( x) ________.
x
y
4、 若 f ( x y, y ) x 2 y 2 , 则 f ( x, y) _________. x 4x y2
函数z ln(1 x 2 y 2 ) 的定义域是__________.
6、函数z x y 的定义域是______________.
间断点.
例15 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
P0( x0 , y0 )处极限不存在．
三、多元函数的连续性
定义3 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0
是
其聚点且
P0
D
，
如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称n元函数 f (P)在点P0处连续.
设 P0是函数 f (P)的定义域的聚点，如果
f (P)在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P)的
思考题解答
不能.
例
f
(
x,
y)
(
x3 y2 x2 y4
)2
,
( x, y) (0,0)
取 y kx,
f
(
x,
kx)
(
x3 k2x2 x2k4 x4 )2
x0 0
但是 lim f ( x, y) 不存在.
( x , y )(0,0)
原因为若取x y2,
f
(
y
2
,
y)
(
y6 y4
y2 y4
)2
定义域、值域、自变量、因变量
例1
已知函数
f (x, y)
x2
xy
y2
,
求 f (1, x).
y
1 x
解
f (1, x) y
12
y x
2
xy x2 y2
y
例2 设函数 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y).
解 令 u x y,v x y
x uv,y uv
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
如：z sin xy
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为
D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，
总存在正数 ，使得对于适合不等式
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点， 都 有 | f ( x, y) A | 成 立 ， 则 称 A 为 函 数
0
例11
求极限
lim 1
x0
cos x2 x2 y2 x2
y2 y2
y0
解
lim x0
1
x
cos 2
x y2
2
x2
y y
2 2
y0
2sin2 x2 y2
lim
2
x0 y0
x2 y2 2
x2 y2 x2 y2
lim
x0 y0
2sin2 x2 y2 2
x2
2
,
y0
sin( x2 y)
其中 lim x0
x2 y
y0
u x2 y sin u lim 1, u0 u
x2 y
1
x2 y2
x 2
x0 0
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
0.
y0
例9
求极限
lim
x
x2 x4
y2 y4
.
y
x4 y4 2x2 y2
解
0
x2 x4
y2 y4
x2 y2 2x2 y2
(0,0)既是边界点也是聚点．
4、二元函数的定义
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
y2
2
x2 y2 4x2 y2
lim 1
x0 y0
2
1 x2
1 y2
例12 讨论极限 lim sin 1 的存在性．
x0 xy
y0
y
解 当动点沿着x轴趋向点(0,0),即
y 0, x 0 时， limsin 1 不存在．
x0 xy
y0
O
x
lim sin 1 不存在．
x0 xy
y0
例13
证明
lim
x0
xy x2 y2
不存在．
y0
证 沿三条不同的路径趋向于原点(0,0)
y
y x
Lx : x 轴 y 0, x 0
xy
lim
x0
x2
y2
0
P(0, y)
y0
P(x, y)
Ly : y 轴 y 0, x 0
xy
lim
y0
x2
y2
0
x0
O P(x,0) x
L :yx
lim
x0
x2
xy y2
图形,
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在.
y0
播放
确定极限不存在的方法：
(1) 令P( x, y) 沿 y kx 趋向于 P0( x0 , y0 ) ，
若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在．
(2)
找两种不同趋近方式，使
lim
x x0
f
( x,
y)
存在，
y y0
但二者不相等，此时可断言 f ( x, y) 在点
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
定义域： D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
5、 二元函数z f ( x, y) 的图形
二元函数的图形通常是一张曲面
如：x2 y2 z2 a2
z
D {(x, y) x2 y2 a2}.
11 2( x2
1 y2 )
夹逼定理
lim x
x2 x4
y2 y4
0
y
例10
求极限
lim x
y
xy x2 y2
x2
x2 y2 2xy
解
0
xy x2 y2
x2
xy
x2
2xy
1 x2 2
lim x
1 2
x2
0
y
夹逼定理
lim x
y
xy x2 y2
x2
1 4
.
一、 填空题:
练习 题
1、 若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x ,则 f (tx, ty) =____. y
2、 若 f ( x, y) x 2 y 2 ,则 f (2,3) __________; 2 xy
f (1, y ) ________________. x
2
)
x2
y2 y2
)
.
y0
三、证明：lim xy 0.
x0 y0
x2 y2
四、证明极限lim xy 1 1不存在 . x0 x y
y0
练习题答案
一、 1、 t 2 f ( x, y)；
2、 13 , f ( x, y)； 12
3、 1 x 2 ；
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4 x ；
且该折线上的点都属于D ，则称
开集 D 是连通的．
• •
连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
y 例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
例如: {( x, y) | 1 x2 y2 4}
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
二、1、 1 ； 4
2、0；
3、 .
U(P0, ) P | PP0 |
• P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
2、区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，