7(12)偏导数计算在偏微分方程中的应用

第十二节 偏导数计算在偏微 分方程中的应用
验证给定函数满足某偏 微分方程 变量代换 小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
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源自文库
一,验证给定函数满足 某偏微分方程
例 验证函数 u=
1 x2 +y2 +z2
在定义域上满足拉普拉斯方程: 在定义域上满足拉普拉斯方程
u u u u = + + = 0. 2 2 2 x y z
2u 2u u u (1) + , ( 2) 2 + 2 . x y x y 解 由 x = r cosθ , y = r sinθ 的函数: 函数 u = f ( x , y ) 换成极坐标 r及θ 的函数
2
2
u = f ( x , y ) = f ( r cosθ , r sinθ ) = F(r,θ ) 2 2 2 2 u u u u 现将 + 及 2 + 2 用 ,θ r y x y x 的偏导数来表达 来表达. 以及函数 u = F(r,θ )对 r,θ 的偏导数来表达
2
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u u + 2 2 x y
2 2
u u u sin θ cos θ = x r θ r
2 sin θ cosθ 2 u sin θ u 2u 2 = 2 cos θ + r r rθ r r sin 2 θ 2 u 2 sin θ cosθ u + + 2 2 2 r r θ θ
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两式相加,得 两式相加 得:
2 u 2 u 2 u 1 u 1 2 u + 2 = 2 + + 2 2 x y r r r r θ 2 2 1 u u ] = 2 [r ( r ) + 2 r r r θ
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例
以
y u = , v = y 作自变量, x w = yz x 作函数,变换方程:
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y u = F(r,θ ), r = x + y , θ = arctan x u u r u θ u y u x = + = + y r y θ y r r θ r 2 r x u u cos θ sin θ + u = r θ r y θ
2 2
u r u θ u sinθ cosθ = =cosθ = sinθ y r x y r θ r
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u = f ( x , y )看成由 u = F(r,θ ) 及 y 2 2 复合而成. r = x + y , θ = arctan 复合而成 x u
u u (1) + x y
2
2
r θ
x y
u u r u θ u x u y + = = (1) x r x θ x r r θ r 2 u u sin θ cos θ = r θ r r sinθ θ = cosθ = x r x
2 z z 2 x 2 +2 = x x y
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二,小结
会变换方程
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作业
习题7.12(122页 习题7.12(122页) 2.
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�
u u = u + 1 u + 得 y r r 2 θ x
2 2
2 2
6
( 2)
r x u u u sinθ u (2) ( cosθ ) 2 = y x x r θ r θ θ 2 u r 2u θ u = cosθ [ 2 + ] + ( sinθ ) x r x rθ x r 2 2 sin θ u θ u r [ θ 2 x + θr x ] r r θ 1 r 1 u = cosθ [ sinθ ( r 2 ) x+ r cosθ x ] x θ sinθ θ 的所有二阶偏导数连续 设 u = f ( x , y ) 的所有二阶偏导数连续 x = r
同理可得(自己练 同理可得 自己练) 自己练
2u 2u 2 sin θ cos θ 2 u 2 = 2 sin θ + 2 r r θ y r
θ cosθ = r y
r = sinθ y
cos 2 θ u cos 2 θ 2 u 2 sin θ cos θ u + + 2 2 r r r r2 θ θ
2 2 2
2
例2 设函数 z =z(x, y) 由方程 Fx+ z , y+ z =0 y x
z z 确定,证明: x +y =zxy. x y
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二,变量代换
的所有二阶偏导数连续 二阶偏导数连续, 例5 设 u = f ( x , y ) 的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换为极坐标系中的形式: 极坐标系中的形式 把下列表达式转换为极坐标系中的形式