数字逻辑与数字系统

• 常用二进制，八进制，十进制，十六进制 • 数字系统中，常用二进制来表示数字和进 行运算
– 例：
1011 1101 1011 110 × 101 110 000 110 11110
110 1011 1001001
1011
1110 1011
1101
11000
10
111
• 通常将人们习惯的十进制数转换成数字系 统中常用的二进制数，经处理后再转换为 十进制 • 十 二：对整数部分和小数部分分别给予 转换
• P3，图1.6：波形图
1.2、数制与码制
• 数字系统所处理的信息是一种离散元素（非连续 性），如数字，字母 • 数字系统中信息的离散元素用称为讯号的物理量 来表示，如电压，电流 • 离散元素通常以二进制的形式出现 • 对任意数N，可表达成以r为基数的r进制数（逢r 进1），其中n为整数位数，m为小数位数
• 乘除法：对整数用除二取余法
2
26 2
2
0
a0 0
13
6
1 0 3 1 1 1
a1 1 a2 0
a3 1
2
a4 1
(26)10 (11010) 2
• 对小数用乘2取整法
– 例：(0.125)10 0.125×2 0.25 ×2 0.5 ×2 ＝ (0.001)2 ＝ 0.25 ＝ 0.5 ＝ 1 b1=0 b2=0 b3=1
懂二进制的和不懂二进制的
1.1、二进制系统
• 电子电路分为模拟电路和数字电路两大类
– 模拟量的特点是用连续量表示 – 数字量的特点是用离散量表示 – 二进制的0、1对应为开关量 – 表示数字0和1（低和高）的电平称为逻辑电平
• 数字系统中的0、1信息可用波形表示
– （0低1高） – （1低0高）
• 有与、或、非 三种最基本的运算，它们可 组成各种各样的逻辑关系
1. “与”运算：F = AB 或者 F = A ^ B
A F B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 0 0 0 1
2. “或”运算：F = A + B或者F = A ∨ B
A
A B ＋
F
F
0 0 1
1
0 1 0
1
0 1 1
1
– 例：F(A, B) = A· B + A· B + A· B
= m1 m2 m3
m(1,2,3)
• 用 mi表示第i个最小项，例000对应ABC，用 m0 表 示 • 任何一个布尔函数都可以表示为若干最小项的 “和” • n个变量可以有 2 n个最小项 • n个变量的所有最小项的和恒等于1
AB BC B C ( A A ) A B(C C ) C AB BC AB C A B C A BC A BC C AB BC (1 A ) A C ( B B ) C ( AB 1) AB BC A C C AB BC C
数字逻辑与数字系统
胡伟 邮箱：whu@nju.edu.cn http://ws.nju.edu.cn/~whu
一、目的要求
• 数字逻辑是电子计算机技术的基础课程之 一，通过本课程的学习，达到要求：
1. 掌握数字电子技术的基本理论，基础知识和基 本技能 2. 熟悉数字集成电路的工作原理，特性和功能 3. 具备正确运用数字集成电路的能力 4. 掌握逻辑电路的分析方法和设计方法
– 2-1 = 0.5、2-2 = 0.25、2-3 = 0.125、2-4 = 0.0625
• 过程：
– 0.8125 – 0.5 = 0.3125
– 0.3125 – 0.25 = 0.0625 – 0.0625不够减0.125 – 0.0625 – 0.0625 = 0
(b1 = 1)
(b2 = 1) (b3 = 0) (b4 = 1)
• 过程：
136 – 27 = 8 8不够减64，32 ，16 8 – 8＝0 已减完，余下位均为0 (136)10 = (10001000)2 (a7 = 1) (a6 = a5 = a4 = 0) (a3 = 1) (a2 = a1 = a0 = 0)
• 例：(0.8125)10 = (0.1101)2
二、与其他课程的关系
• 本课程是计算机科学的一门重要的技术基 础课程，既需要普通数学知识，又用到离 散数学的知识 • 它为《计算机组成原理》，《微型计算机 应用》等课程打下了牢固的技术基础
三、特点
• 是一门理论和实践性均较强的专业基础课
四、教材
• 《数字逻辑与数字系统》
– 第四版·立体化教材 – 白中英 主编 – 科学出版社
• 例：A + A ·B = A+B A + A ·(B+C) = A + (B+C)
2. 反演规则：将布尔表达式F中· +，+ · ， 0 1，1 0，原变量 反变量，反变量 原变量，得到F的反函数 F，F与 F互为反函数
• 例： F A [ B C ( D E )]
F A [ B C ( D E )] A [( B C ) ( D E )] A (B C D E)
• 如果函数较复杂，可将函数中一部分用另 一变量来暂代
– 例：对上题，令 X B C ( D E ) ，
则F =A+X
F = A X = A ( B C ( D E ))
代数化简法
• 即用布尔代数的公理，定理及规则来简化布尔函 数（通常化为最简单的“与－或”表达式）
1. 并项法：利用AB + AB = A，合并项且消去一个变量 – 例：F AB AB CD C D A D AD
1
2. 吸收法：利用A + AB = A消去多余的变量 – 例：F AB AB ( E F D) AB
• 逻辑功能相同的布尔函数可以有不同的表示形式 • 每个逻辑网络均对应一个布尔表达式 • 对布尔表达式的化简（化为最简的“与—或”表 达式）可使设计出的逻辑网络简单
– 例：F A B(C AB ) B C
F1 A B(C A B ) B C A B C A B AB B C A B C B C ( A B B ) C ( A B ) (B B ) C A B C F F1
B
3. “非”运算：F = A或者F = A′
A
F
A 0 1
F 1 0
• 如果将门电路电压的高电平赋值为逻辑1， 低电平赋值为逻辑0，称为正逻辑关系；若 高电平作为0，低电平作为1，称为负逻辑 关系
– P15，表1.5
• • • •
“与非门”运算 “或非门”运算 “异或门”运算 “同或门”运算
1.4、布尔代数
• 练习：(27.25)10 = ?
• 降幂法：用十进制数减去与其最相近的二 进制权值（小于十进制数的），如够减则 减去并在相应位记1，不够减记0并跳过， 一直到该数为0
• 例：(136)10
– – – – – – – 128 1 64 0 32 0
二进制
16 8 4 0 1 0 2 0 1 0
3. 消去法
– 利用 A A B A B 消去多余的变量 – 证明：
A ( A A B) A A A A B A B A A A B A ( A B)
– 例： F
A AB DE A B DE
4. 配项法
– 利用A· 1＝A、A+A=1增加一些项，再用1~3法 进行化简 – 例：F AB BC B C A B C
– 例如： F AB AC A B AB (C C ) AC ( B B ) A B (C C )
ABC ABC ABC AB C A B C A B C A B C A B C AB C ABC ABC m(0,1,4,6,7)
五、主要内容
1. 逻辑设计的数学知识——数制，布尔代数， 函数化简 2. 逻辑门电路 3. 组合逻辑电路的分析和设计方法 4. 同步和异步时序逻辑电路的基本规律及分 析，设计方法 5. 编程逻辑
第一章、开关理论基础
• 开关理论是描述逻辑电路的数学工具和图 形语言，以二进制数为基础
世界上只有10种人，
• 例：F A(B C )(A B C)(AB C )
(A (B C ))(A B C)(A B C) (A B C)(A C B)(A C B) (A B C)(A C BB) (A B)(A C)(A C 0) (A B)(A C) A BC
1.5、卡诺图Biblioteka Baidu
• 卡诺图由 2 个方格构成有规律的图形，每个方格 对应布尔函数的某个最小项mi
• 任何相邻的两个最小项只有一个变量（1位）不同 • 布尔函数的卡诺图表示
– 对布尔表达式是最小项之和的形式，则可在对应变量 数的卡诺图上找出相应最小项的方格，并标上1，则可 得到此函数的卡诺图 – 例： F ( A, B, C ) A C A B AB C BC
• 积之和表达式：对若干个“积”项（· ），用“和”（＋） 将它们连成函数表达式，又称为“与—或”表达式
– 例：F = A + B· C + A· B· C
• 最小项：若具有n个变量的函数的积项包含全部n个变量， 且每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则此积 项称为最小项
• 若一个函数完全由最小项组成，则称其为标准“积之和” （函数的最小项之和）表达式（最小项表达式 ）
3. 对偶规则：将布尔表达式F中+ · ，· +， 1 0，0 1，变量均保持不变，得到的F’称为 F的对偶式
– 例： F
( A B ) ( A C 1)
F ' A B A (C 0)
F A, F ' A
• 任何一个布尔函数表达式都存在对偶式 • 当某一个逻辑恒等式成立，则其对偶式也成立
• 用一定位数的二进制码表示各种字符，这 种特定的二进制码称为代码 • 给n位代码的2的n次方种信息中的每个信息 指定一个特定的码字，这一指定过程称为 编码（有多种编码方案） • 用二进制代码来表示数字，字母及其它特 殊符号，最常用的是ASCII码
• P8，表1.1：二进制编码
– 其中，循环码任何相邻的两个码字中只有一位 代码不同
• 二一十进制码把十进制数的各数码用二进 制代码的形式表示 • P8，表1.2：BCD编码
– 例：2345的8421码：0010 0011 0100 0101
1.3、逻辑函数
• 数字电路（又称逻辑电路）有开和关两种 状态 F = f (A1, A2, …, An)
– F是A1, A2, …, An的逻辑函数 – 只可取值0或1
• 乔治· 布尔提出了用数学方法研究人的逻辑 思维规律和推理过程的代数，即布尔代数， 后来克劳德· 香农对其进一步完善，用布尔 代数分析开关电路 • 布尔代数已在数字电路和数字计算机设计 中被广泛应用，成为逻辑设计的数学基础
– P16，表1.6定律（可用真值表验证）
• 三个重要规则
1. 代入规则：若函数表达式的某个变量，都以 某个函数代入，则函数表达式仍然成立
八进制数、十六进制数
• 一位八进制数可用对应的三位二进制数表示， 一位十六进制数可用对应的四位二进制数表示 • 二进制数的整数部分从低位开始对应，小数部分 从高位开始对应，三位（八进制）或四位（十六 进制）一组，不足的补0
• 例：
– (1011011.001011)2 = (5B.2C)16 = (133.13)8
( N ) r an1 (r ) n1 a1 (r )1 a0 (r )0 a 1 (r ) 1 am (r ) m
– 例： (743.56)10 7 (10)2 4 (10)1 3 (10)0 5 (10)1 6 (10)2